[center]
1ª Olimpíada Matemática Rioplatense
San Fernando, Argentina, 1990
[/center]
Tercer Nivel
Problema 1. ¿Cuántas soluciones enteras positivas tiene la ecuación [tex]\displaystyle{\left[\frac{x}{10}\right]=\left[\frac{x}{11}\right]+1}[/tex]?
([tex][x][/tex] designa la parte entera de [tex]x[/tex]; por ejemplo [tex][2]=2[/tex], [tex][\pi]=3[/tex], [tex]\left[\sqrt{2}\right]=1[/tex])
Problema 2. Algunas de las personas asistentes a una reunión se saludan mutuamente. Sea [tex]n[/tex] el número de personas que saludan a una cantidad impar de personas. Demostrar que [tex]n[/tex] es par.
Problema 3. Sea [tex]ABCD[/tex] un trapecio de bases [tex]AB[/tex] y [tex]CD[/tex] tales que [tex]AB=2CD[/tex]. Por [tex]A[/tex] se traza la recta [tex]r[/tex] perpendicular a [tex]BC[/tex] y por[tex]B[/tex] la recta [tex]t[/tex] perpendicular a [tex]AD[/tex]. Sea [tex]P[/tex] el punto de intersección de [tex]r[/tex] y [tex]t[/tex]. Por [tex]C[/tex] se traza la recta s perpendicular a [tex]BC[/tex] y por [tex]D[/tex] la recta [tex]u[/tex] perpendicular a [tex]AD[/tex]. Sea [tex]Q[/tex] el punto de intersección de [tex]s[/tex] y [tex]u[/tex]. Si [tex]R[/tex] es el punto de intersección de las diagonales del trapecio, demostrar que [tex]P[/tex], [tex]Q[/tex] y [tex]R[/tex] están alineados.
