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2ª Olimpíada Matemática Rioplatense
Maldonado, Uruguay, 1992
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Primer Nivel
Problema 1. Un número natural de [tex]n[/tex] dígitos es "armonioso" si sus [tex]n[/tex] cifras son una permutación de [tex]\{1,2,...,n\}[/tex] y sus [tex]k[/tex] primeros dígitos forman un número divisible por [tex]k[/tex], para [tex]k=1,2,...,n[/tex]. Por ejemplo, 321 es armonioso pues 3 es divisible por 1, 32 es divisible por 2 y 321 es divisible por 3. ¿Cuántos números armoniosos de 6 dígitos hay?
Problema 2. Un jugador empedernido ha descubierto en un casino de Las Vegas una máquina que colocando una ficha de 1,6 dólares y una cierta cantidad de dinero duplica la cantidad de dinero colocada. Feliz con su hallazgo se decide a jugar; compra una ficha en introduce el dinero restante en la máquina, que se lo retorna duplicado. Así continúa jugando, comprando las siguientes fichas (una por vez) con la ganancia obtenida.
(a) Después de haber jugado 4 veces la máquina le retorna 1,6 dólares, los necesarios para comprar la próxima ficha, ..., pero no tiene con qué seguir jugando ¿Con cuánto dinero empezó (antes de comprar la primera ficha)?
(b) ¿Con cuánto dinero debería empezar (antes de comprar la primera ficha) para jugar indefinidamente, sin ganar ni perder?
(c) ¿Con cuánto dinero debería empezar (antes de comprar la primera ficha) para que al cabo de la cuarta jugada la maquina le retorne doce veces la cantidad inicial?
Problema 3. Sean las rectas [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] secantes que forman un ángulo de [tex]15^\circ[/tex]. [tex]A[/tex] partir de un punto [tex]P[/tex] no perteneciente a ninguna de ellas se obtienen los puntos [tex]P_1[/tex], [tex]P_2[/tex], [tex]P_3[/tex], ..., de la siguiente forma: [tex]P_1[/tex] es el simétrico de [tex]P[/tex] respecto de la recta [tex]a[/tex], [tex]P_2[/tex] es el simétrico de [tex]P_1[/tex] respecto de la recta [tex]b[/tex], [tex]P_3[/tex] es el simétrico de [tex]P_2[/tex] respecto de la recta [tex]a[/tex], y así sucesivamente.
Para algún [tex]n[/tex], [tex]P_n=P[/tex] por primera vez. Hallar los posibles valores de [tex]n[/tex].
Problema 4. Un estudiante ha dado en 5 años 31 exámenes en total. El número de exámenes que dio cada año supera al del año anterior y el número de exámenes del quinto año triplica al del primero. Con esta información, para algunos años queda totalmente determinada la cantida de exámenes que rindió. ¿Cuáles son esos años y qué cantidad de exámenes rindió en cada uno de ellos?
Problema 5. Las piezas de un rompecabezas rectangular son 9 cuadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 y 18 ¿Cómo deben ubicarse las 9 piezas para armar el rompecabezas?
Problema 6. Dado un triángulo [tex]ABC[/tex] y una recta [tex]l[/tex], como muestra la figura, construir un triángulo de modo que uno de sus vértices sea [tex]A[/tex], los otros dos vértices pertenezcan a la recta [tex]l[/tex] y el área sea igual al área del triángulo [tex]ABC[/tex].
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