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2ª Olimpíada Matemática Rioplatense
Maldonado, Uruguay, 1992
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Segundo Nivel
Problema 1. Sea [tex]P[/tex] un punto al interior al triángulo equilátero [tex]ABC[/tex] y sean [tex]P_1[/tex], [tex]P_2[/tex] y [tex]P_3[/tex] los pies de las perpendiculares trazadas por [tex]P[/tex] a los lados [tex]AB[/tex], [tex]BC[/tex] y [tex]CA[/tex] respectivamente. Determinar el lugar geométrico de los puntos [tex]P[/tex] para los cuales existe un triángulo [tex]MNQ[/tex] cuyos lados son congrientes con los segmentos [tex]PP_1[/tex], [tex]PP_2[/tex] y [tex]PP_3[/tex].
Problema 2. Sea [tex]r[/tex] un número real tal que
[center][tex]\displaystyle{\left[r+\frac{19}{100}\right]+\left[r+\frac{20}{100}\right]+\cdots + \left[r+\frac{92}{100}\right]}=554[/tex][/center]
Hallar [tex][100r][/tex]
(Nota: Si r es un número real, [tex][r][/tex] es la parte entera de [tex]r[/tex], o sea, el mayor entero que es menor o igual que [tex]r[/tex]. Por ejemplo: [tex][3,56]=3[/tex], [tex]\displaystyle{\left[\frac{5}{4}\right]}=1[/tex]).
Problema 3. Escribir el número 40 como la suma de algunos números naturales de modo que el producto de los sumandos sea lo mayor posible. Justificar la respuesta.
Problema 4. Encontrar todos los cuadrados perfectos menores o iguales que 100 tales que la cantidad de divisores positivos es un número primo.
Problema 5. Hallar una partición del conjunto de los números naturales en dos conjuntos tales que no existe una progresión aritmética cuyo recorrido esté incluido en uno de ellos.
(Nota: Los conjuntos [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex] forman una partición de [tex]\mathbb{N}[/tex] en dos conjuntos si y sólo si [tex]A\cup B=\mathbb{N}[/tex] y [tex]A\cap B=\emptyset[/tex]).
Problema 6. P es un punto en el interior del cudrado ABCD tal que PA=1, PB=2 y PC=3 ¿Cuánto mide el ángulo [tex]\angle{APB}[/tex]? (No vale medir).
