2ª Olimpíada Matemática Rioplatense 1992 N3

assassin

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2ª Olimpíada Matemática Rioplatense

Maldonado, Uruguay, 1992

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Tercer Nivel

Problema 1. Sea [tex]f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}-\{0\}[/tex] tal que:

[center][tex]f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))^2[/tex] y [tex]f(1)\neq 1[/tex][/center]

Demostrar que [tex]\log_{f(1)}{f(z)}[/tex] es un cuadrado perfecto para todo entero [tex]z[/tex].

Problema 2. Determinar los enteros [tex]0\leq a\leq b\leq c\leq d[/tex] tales que:

[center][tex]2^n=a^2+b^2+c^2+d^2[/tex].[/center]

Problema 3. Sea [tex]D[/tex] el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo acutángulo [tex]ABC[/tex]. Si la circunferencia que pasa por [tex]ADB[/tex] corta a [tex]AC[/tex] (o a su prolongación) en [tex]M[/tex] y a [tex]BC[/tex] (o a su prolongación) en [tex]N[/tex], mostrar que los radios de las circunferencias por [tex]ADB[/tex] y por [tex]MNC[/tex] son iguales.

Problema 4. En el planeta Marte hay 100 estados que se encuentran en litigio. Para lograr una situación de paz se deben formar bloques que cumplan las siguientes dos condiciones:

(2) Cada par de estados deben estar juntos en por lo menos un bloque.

Hallar la cantidad mínima de bloques que se deben formar.

Problema 5. Dado un triángulo acutángulo [tex]ABC[/tex] cualquiera, hallar el lugar geométrico de los centros de los rectángulos inscritos en el [tex]ABC[/tex].

Problema 6. Definición: Un número natural es abundante si la suma de sus divisores positivos supera a su doble.

Encontrar un número abundante impar y demostrar que existen infinitos números abundantes impares.

jumbito

Demostraremos que [tex]f(z)=f(1)^{z^2}[/tex] de donde lo pedido es directo. Tenemos haciendo y=1 que [tex]f(x+1)f(x-1)=f(x)^2f(1)^2[/tex], no es dificil verificar que [tex]f(2)=f(1)^4[/tex] y [tex]f(3)=f(1)^9[/tex], entonces si [tex]f(k)=f(1)^{k^2}[/tex] para k=1,2,...,n tenemos [tex]f(n+1)=\dfrac{f(n)^2f(1)^2}{f(n-1)}=\dfrac{f(1)^{2n^2}f(1)^2}{f(1)^{(n-1)^2}}=f(1)^{(n^2+2n+1)}=f(1)^{(n+1)^2}[/tex], por inducción estamos listos

heiricar

[center]Problema 3[/center]

Lema 1: Sea ABC un triangulo de circuncentro O, si M en AC y N en BC son tales que M,N,B,A son concíclicos entonces OC es perpendicular a MN

Demostración:

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Sea CH la altura desde C, es un hecho conocido que CO es isogonal con CH de donde <OCB=<HCA, ademas como MNBA es un cuadrilátero cíclico tenemos <HAM=<MNC, finalmente como <HAM+<HCA=90° se concluye lo pedido[/spoiler]

Lema 2: Sea ABC un triangulo de circuncentro O, una perpendicular al segmento CO se levanta por O e intersecta al segmento CA en P, se pone el punto Q en AC tal que los angulos QOP y OCB son iguales (Q esta mas cerca de A que P).

Los puntos B,O,Q,A son concíclicos.

Demostración:

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Sea R la intersección de OP con CB, es fácil probar usando el lema 1 y la técnica del punto falso que el cuadrilatero RPAB es cíclico, además como O es el circuncentro tenemos <OCB=<OBC luego como RPAB es cíclico <RPC=<RBO+<OBA y finalmente por angulo exterior en el triangulo OPQ se concluye <OBA=OPQ lo que implica que BOQA es un cuadrílatero cíclico[/spoiler]

Solución al problema

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La recta CD intersecta al circuncírculo del triangulo ADB en C' y al segmento MN en K.

Notemos que si probamos que C' es el reflejo de C con respecto a MN estamos listos ya que si así fuese los triangulos MC'N y MCN serían congruentes de donde sus circuncírculos serían iguales.

Ahora se traza una paralela a MN por D la cual intersecta a BC en M' y a CA en N', por el Lema 1 <CDN'=<CKN=90°, ademas tenemos <MC'D=<MND=<N'DN, ahora como BMNA es cíclico tenemos que BM'N'A también lo es luego por el reciproco del lema 2 (que se prueba trivialmente por punto falso) tenemos <MCK=MC'K, de esto se desprende que C' es el reflejo de C con respecto de MN, finalizamos.[/spoiler]

Saludos!