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3ª Olimpíada Matemática Rioplatense
Concordia, Argentina, 1993
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Primer Nivel
Problema 1. Tres apostadores [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] y [tex]C[/tex] pronostican el resultado de cinco partidos de fútbol. ([tex]L[/tex]=local, [tex]E[/tex]=empate, [tex]V[/tex]=visitante). Las tarjetas presentadas fueron
[center][table][r][c=4]Jugador A[/c][/r][r][c=1][/c][c=1]L[/c][c=1]E[/c][c=1]V[/c][/r][r][c=1]1[/c][c=1]x[/c][c=1][/c][c=1][/c][/r][r][c=1]2[/c][c=1]x[/c][c=1][/c][c=1][/c][/r][r][c=1]3[/c][c=1][/c][c=1]x[/c][c=1][/c][/r][r][c=1]4[/c][c=1][/c][c=1]x[/c][c=1][/c][/r][r][c=1]5[/c][c=1][/c][c=1][/c][c=1]x[/c][/r][/table]
[table][r][c=4]Jugador B[/c][/r][r][c=1][/c][c=1]L[/c][c=1]E[/c][c=1]V[/c][/r][r][c=1]1[/c][c=1][/c][c=1][/c][c=1]x[/c][/r][r][c=1]2[/c][c=1][/c][c=1]x[/c][c=1][/c][/r][r][c=1]3[/c][c=1]x[/c][c=1][/c][c=1][/c][/r][r][c=1]4[/c][c=1][/c][c=1]x[/c][c=1][/c][/r][r][c=1]5[/c][c=1]x[/c][c=1][/c][c=1][/c][/r][/table]
[table][r][c=4]Jugador C[/c][/r]
[r][c=1][/c][c=1]L[/c][c=1]E[/c][c=1]V[/c][/r][r][c=1]1[/c][c=1]x[/c][c=1][/c][c=1][/c][/r][r][c=1]2[/c][c=1]x[/c][c=1][/c][c=1][/c][/r][r][c=1]3[/c][c=1][/c][c=1][/c][c=1]x[/c][/r][r][c=1]4[/c][c=1]x[/c][c=1][/c][c=1][/c][/r][r][c=1]5[/c][c=1][/c][c=1]x[/c][c=1][/c][/r][/table][/center]
Finalizados los partidos se observó que los apostadores obtuvieron: [tex]A[/tex], tres aciertos; [tex]B[/tex], tres aciertos; [tex]C[/tex], dos aciertos. Construir una tarjeta con cinco aciertos.
Problema 2. Los triángulos [tex]AHF[/tex], [tex]HCF[/tex], [tex]DEG[/tex], [tex]EGB[/tex], son isósceles con la medida de sus bases iguales a las de sus alturas e iguales a [tex]b[/tex]. Calcular el área de la zona rayada en función de [tex]b[/tex].
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Problema 3. Juan eligió 18 números consecutivos de tres cifras (no sabemos cuáles son). Demostrar que entre ellos hay uno que es divisible por la suma de sus tres dígitos.
Problema 4. Con los dígitos [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] ([tex]a\neq 1[/tex] y [tex]b\neq 1[/tex]) se forman los números
[center][tex]x=\displaystyle{a+\frac{a}{10}+\frac{a}{10^2}+\frac{a}{10^3}+\cdots +\frac{a}{10^n} + \cdots},\ y=\displaystyle{\frac{b}{10}+\frac{b}{10^2}+\frac{b}{10^3}+\cdots +\frac{b}{10^n} + \cdots}[/tex][/center]
Determinar todos lo valores de los dígitos [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] que satisfacen que [tex]\frac{x}{y}[/tex] es un número natural mayor o igual que 40.
Problema 5. Don Vittorio tiene 7 verdulerías [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex], [tex]D[/tex], [tex]E[/tex], [tex]F[/tex], [tex]G[/tex] (ver el plano), todas situadas en esquinas. Diariamente envía una camioneta con verduras a cada uno de sus negocios. La camioneta realiza cada día 7 viajes: ida y vuelta desde el depósito hasta los 7 comercios. Quiere establecer el depósito en alguna esquina de la ciudad de modo que la distancia total de los viajes de reparto desde el depósito hasta los 7 comercios sea la mínima posible.
Marcar en el plano dónde debe colocar el depósito y justificar por qué.
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Problema 6. Se considera un polígono regular de 70 lados.
