Lista de problemas Nº1

assassin

Les dejo una lista de problemas para resolver, que ojalá puedan responder en este mismo tema.

Problema 1. El número [tex]739ABC[/tex] es divisible por [tex]7[/tex], [tex]8[/tex] y [tex]9[/tex] ¿Qué valores pueden tomar [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] y [tex]C[/tex]?

Problema 2. [tex]ABCD[/tex] es un rectángulo. [tex]I[/tex] es el punto medio del lado [tex]CD[/tex]. [tex]BI[/tex] corta a [tex]AC[/tex] en [tex]M[/tex]. [tex]E[/tex] es un punto fuera del rectángulo, tal que [tex]AE=BE[/tex] y [tex]\angle{AEB}=90^\circ[/tex]. Si además se tiene que [tex]BE=BC[/tex], pruebe que [tex]EM[/tex] es bisectriz del [tex]\angle{AMB}[/tex].

Problema 3. Si [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}[/tex] es tal que:

[center][tex]f(x+2)=f(x-1)f(x+5)[/tex][/center]Demuestre que [tex]f[/tex] es periódica.

Problema 4. Pruebe que para todo [tex]n[/tex] número entero positivo

[center][tex]\displaystyle{\frac{(5n)!}{40^nn!}}[/tex][/center]

es un entero.

Problema 5. Hay 2003 piezas de candy en una mesa. Dos jugadores efectúan jugadas en forma alternada. Una jugada consiste en comerse un candy o la mitad de los candy de la mesa (la mitad inferior si la cantidad de candys es impar): al menos un candy debe ser comido por jugada. El perdedor es el que se come el último candy. ¿Qué jugador, el primero o el segundo, tiene una estrategia ganadora?

Problema 6. Sea

[center][tex]\displaystyle{a=\frac{m^{m+1}+n^{n+1}}{n^n+m^m}}[/tex][/center]

Donde [tex]m[/tex] y [tex]n[/tex] son enteros positivos. Probar que [tex]a^m+a^n\geq m^m+n^n[/tex].

gergajar

Ya que no cacho latex... paint :

Problema 2:( por pifias de dibujo/ante... sustituir vértice B por D según problema original)

Se tiene por hipótesis que [tex]AE=DE=AB=CD[/tex], implica que [tex]\triangle[/tex] [tex]AED[/tex] es isósceles. Sea [tex]a=AE=DE[/tex], luego el lado mayor del rectángulo[tex]ABCD[/tex] vale [tex]a\sqrt{2}[/tex] (Pitágoras) y [tex]BI=CI= \displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex] ( Pues I es punto medio ). Ahora tenemos que el [tex]\triangle[/tex] [tex]ABC[/tex] es semejante con el [tex]\triangle ICD[/tex] por criterio LAL ( la razón es [tex]\sqrt{2} : 1[/tex] ).

Sea [tex]\angle BAC = \alpha[/tex] , entonces [tex]\angle BCA= 90-\alpha[/tex] y de igual manera sus homólogos en el [tex]\triangle ICD[/tex].

Sumando [tex]\angle MDC[/tex] y [tex]\angle DCM[/tex] notamos que[tex]\angle DMA[/tex] es recto lo que implica que el cuadrilátero[tex]AEDM[/tex] es cíclico por suma de ángulos opuestos. Finalmente moviendo ángulos dentro del cíclico, [tex]\angle EMA = \angle EDA = \angle EAD = \angle EMD = 45[/tex] de donde es notorio que [tex]EM[/tex] es bisectriz de [tex]\angle AMD[/tex].

assassin

Ya que no cacho latex... paint :

Problema 2:( por pifias de dibujo/ante... sustituir vértice B por D según problema original)

Se tiene por hipótesis que [tex]AE=DE=AB=CD[/tex], implica que [tex]\triangle[/tex] [tex]AED[/tex] es isósceles. Sea [tex]a=AE=DE[/tex], luego el lado mayor del rectángulo[tex]ABCD[/tex] vale [tex]a\sqrt{2}[/tex] (Pitágoras) y [tex]BI=CI= \displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex] ( Pues I es punto medio ). Ahora tenemos que el [tex]\triangle[/tex] [tex]ABC[/tex] es semejante con el [tex]\triangle ICD[/tex] por criterio LAL ( la razón es [tex]\sqrt{2} : 1[/tex] ).

Sea [tex]\angle BAC = \alpha[/tex] , entonces [tex]\angle BCA= 90-\alpha[/tex] y de igual manera sus homólogos en el [tex]\triangle ICD[/tex].

Sumando [tex]\angle MDC[/tex] y [tex]\angle DCM[/tex] notamos que[tex]\angle DMA[/tex] es recto lo que implica que el cuadrilátero[tex]AEDM[/tex] es cíclico por suma de ángulos opuestos. Finalmente moviendo ángulos dentro del cíclico, [tex]\angle EMA = \angle EDA = \angle EAD = \angle EMD = 45[/tex] de donde es notorio que [tex]EM[/tex] es bisectriz de [tex]\angle AMD[/tex].

Solución correcta, para la otra te recomiendo usar Geogebra, descargable desde http://www.geogebra.org/download/?os=win. A seguir intentando los demás problemas.

sebin

Problema 3. De la ecuación original obtenemos que

[center][tex]\displaystyle f(x-1)=f(x-4)f(x+2)[/tex][/center]

Entonces remplazando en la primera igualdad tenemos que:

[center][tex]\displaystyle f(x+2)=f(x-1)f(x+5)[/tex]

[tex]\displaystyle f(x+2)=f(x-4)f(x+2)f(x+5)[/tex]

[tex]\displaystyle f(x-4)f(x+5)=1(*)[/tex] pues [tex]\displaystyle f(x+2)\neq 0[/tex][/center]

Luego de [tex]\displaystyle (*)[/tex] llegamos a [tex]\displaystyle f(x-13)f(x-4)=1[/tex], y combinando con la ultima igualdad concluimos que [tex]\displaystyle f(x-13)=f(x+5)[/tex], demostrando que [tex]\displaystyle f[/tex] es periódica [tex]\displaystyle \blacksquare[/tex]