Lista de problemas Nº2

assassin

Acá dejo la segunda lista de problemas, por mientras no habrá clases ya que la parte que les queda es sólo resolver problemas, aquí vamos:

Problema 1. Sea [tex]ABCD[/tex] un paralelógramo, y [tex]P\[/tex] un punto fuera de él, tal que [tex]\angle{PDC}=\angle{PBC}[/tex]. Probar que [tex]\angle{CPB}=\angle{DPA}[/tex].

Problema 2. Pruebe que todos los números de la forma 12008, 120308, 1203308, ... son divisibles por 19.

Problema 3. Encuentre todos los enteros positivos [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] tales que,

[center][tex]\displaystyle{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=2}[/tex][/center]

Problema 4. Determine si existen funciones inyectivas [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] con la propiedad de que [tex](\forall x\in\mathbb{R}) f(x^2)-f^2(x)\geq \displaystyle{\frac{1}{4}}[/tex].

Problema 5. Los puntos [tex]D[/tex] y [tex]E[/tex] se encuentran en los lados [tex]BC[/tex] y [tex]AC[/tex], respectivemante, del triángulo [tex]ABC[/tex], cumpliendo que [tex]BD=AE[/tex]. La línea que une los circuncentros de los triángulos [tex]ADC[/tex] y [tex]BEC[/tex] intersecta a los segmentos [tex]AC[/tex] y [tex]BC[/tex] en [tex]K[/tex] y [tex]L[/tex] respectivamente. Demuestre que [tex]KC=LC[/tex].

Problema 6. En un regimiento de 169 reclutas cada día 4 de ellos hacen guardia. ¿Es posible que después de un tiempo, cada par de soldados hayan hecho guardia juntos exactamente una vez?

gergajar

Problema 3:

[tex]\left(1+\displaystyle\frac{1}{a}\right)\left(1+\displaystyle\frac{1}{b}\right) = 2[/tex]

[tex]\left(\displaystyle\frac{(a+1)(b+1)}{ab}\right) = 2[/tex]

[tex]b+1 = a(b-1)[/tex]

Consideranado que [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] son enteros, en pocas ocasiones se da que un entero [tex]x[/tex] multiplicado por otro [tex]y[/tex] resulta el sucesor en paridad de [tex]x[/tex].

Así , probando para el primer valor entero positivo de b, la igualdad no se cumple ya que [tex]b-1= 0[/tex] y [tex]b+1> 0[/tex]

Para [tex]b=2, b-1 =1[/tex] y [tex]b+1 = 3, \Rightarrow a= 3[/tex]

Para [tex]b=3, b-1 =2[/tex] y [tex]b+1 =4, \Rightarrow a= 2[/tex]

Para [tex]b=4, b-1 =3[/tex] y [tex]b+1 =5[/tex], no se cumple la condicion de aquí en adelante...

[tex]\displaystyle\therefore[/tex] las únicas soluciones enteras positivas son [tex]a= 3, 2[/tex] y [tex]b= 2, 3[/tex]

assassin

Problema 3:

[tex]\left(1+\displaystyle\frac{1}{a}\right)\left(1+\displaystyle\frac{1}{b}\right) = 2[/tex]

[tex]\left(\displaystyle\frac{(a+1)(b+1)}{ab}\right) = 2[/tex]

[tex]b+1 = a(b-1)[/tex]

Consideranado que [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] son enteros, en pocas ocasiones se da que un entero [tex]x[/tex] multiplicado por otro [tex]y[/tex] resulta el sucesor en paridad de [tex]x[/tex].

Así , probando para el primer valor entero positivo de b, la igualdad no se cumple ya que [tex]b-1= 0[/tex] y [tex]b+1> 0[/tex]

[tex]Para b=2, b-1 =1 y b+1 = 3, \rightarrow a= 3[/tex]

[tex]Para b=3, b-1 =2 y b+1 =4, \rightarrow a= 2[/tex]

[tex]Para b=4, b-1 =3 y b+1 =5[/tex], no se cumple la condicion de aquí en adelante...

[tex]\displaystyle\therefore[/tex] las únicas soluciones enteras positivas son [tex]a= 3, 2[/tex] y [tex]b= 2, 3[/tex]

Efectivamente esas son las soluciones, pero te recomiendo verlo de una manera más formal, es decir, buscando una factorización para luego evaluar sistemas de ecuaciones.

gergajar

Jajaj , como diría Matthies: " Solución yo sé poquito " xDD

gergajar

Problema 3 (2.0)

[tex]\left( 1+ \displaystyle\frac{1}{a}\right)\left(1+\displaystyle\frac{1}{b}\right)= 2[/tex]

[tex]ab-a-b=1[/tex]

[tex]a(b-1)-b+1-1=1[/tex]

[tex]a(b-1)-(b-1)=2[/tex]

[tex](a-1)(b-1)=2[/tex]

Como 2 es primo, existen 2 posibilidades:

[tex]1. a-1= 2 y b-1= 1[/tex]

[tex]2. a-1= 1 y b-1= 2[/tex]

De donde se obtienen los resultados para [tex]a=3,2/ b=2,3[/tex]

*No considero las multiplicaciones [tex]-2*-1 y -1*-2[/tex] ya que no se cumplen las condiciones de enteros positivos.

assassin

Problema 3 (2.0)

[tex]\left( 1+ \displaystyle\frac{1}{a}\right)\left(1+\displaystyle\frac{1}{b}\right)= 2[/tex]

[tex]ab-a-b=1[/tex]

[tex]a(b-1)-b+1-1=1[/tex]

[tex]a(b-1)-(b-1)=2[/tex]

[tex](a-1)(b-1)=2[/tex]

Como 2 es primo, existen 2 posibilidades:

[tex]1. a-1= 2 y b-1= 1[/tex]

[tex]2. a-1= 1 y b-1= 2[/tex]

De donde se obtienen los resultados para [tex]a=3,2/ b=2,3[/tex]

*No considero las multiplicaciones [tex]-2*-1 y -1*-2[/tex] ya que no se cumplen las condiciones de enteros positivos.

Ahora sí la solución esta perfect, sólo para mejorar la notación conviene anotar que las soluciones [tex](a,b)[/tex] son los pares [tex](2,3)[/tex] y [tex](3,2)[/tex].

gergajar

Problema 2:

Pruebe que todos los números de la forma 12008, 120308, 1203308, ... son divisibles por 19.

Se tiene que para el primer número:

I.- [tex]12008\equiv 0(mod\ 19)[/tex] ya que [tex]19*632=12008[/tex]

Luego lo que se adiciona a [tex]12008[/tex] al agregar un 3 en medio es: [tex]120308-12008= 108300[/tex]. Y lo que se adiciona a [tex]120308[/tex] al agregar otro 3 es: [tex]1203308-120308=1083000[/tex] es decir, una cantidad 10 veces mayor que la anterior.

Pero [tex]1803\equiv 0(mod\ 19)[/tex] ( ya que es 19*57) y por ende :

II.- [tex]1083a\equiv0(mod\ 19)[/tex] para cualquier a [tex]\in\mathbb{N}[/tex] pero en este caso, [tex]a=10^n[/tex]

Finalmente : [tex]I+II \equiv 0 (mod\ 19)[/tex] demostrando lo pedido

Buster

Creo que no leíste los puntos suspensivos.

Con inducción puedes terminar la demostración como ibas.

gergajar

El valor de a puede ser desde 0 hasta infinito.

EDIT:

Los siguientes números se construyen de forma similar, solo modificando el valor de [tex]a= 10^k[/tex] por [tex]10^{k+1}[/tex]

soyunserinerte

Problema 4

Si [tex]x=0[/tex], entonces [tex]4f(0)-4f(0)^2\ge 1[/tex], de donde [tex]0\ge (2f(0)-1)^2[/tex], que al ser un cuadrado, no puede ser negativo, luego ocurre la igualdad, de donde obtenemos que [tex]f(0)=\frac{1}{2}[/tex]. De forma análoga, con [tex]x=1[/tex] obtenemos [tex]f(1)=\frac{1}{2}[/tex], por lo tanto [tex]f(0)=f(1)[/tex], luego [tex]f[/tex] no es inyectiva.

Buster

Correcto, salvo por el detalle de que nunca contradijiste nada. Sólo demostraste que la propiedad hace que la función no sea inyectiva.