Problema 1. Demostrar que si los números positivos [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] forman una progresión aritmética, los números
[center][tex]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}[/tex], [tex]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}[/tex], [tex]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/tex][/center]también forman una progresión aritmética.
Problema 2. Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuación [tex]x^4+131=3y^4[/tex].
Problema 3. Sea [tex]ABCD[/tex] un paralelógramo. La bisectriz del [tex]\angle{BAD}[/tex] corta a [tex]BC[/tex] en [tex]M[/tex] y a la prolongación de [tex]CD[/tex] en [tex]N[/tex]. Si [tex]O[/tex] es el circuncentro del triángulo [tex]MCN[/tex], muestre que [tex]B[/tex], [tex]O[/tex], [tex]C[/tex], [tex]D[/tex] son concíclicos.
Problema 4. Sean [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] reales positivos tales que [tex]abc=1[/tex]. Muestre que
[center][tex]\displaystyle{\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3}[/tex][/center]
Problema 5. Determine todos los pares de enteros no negativos [tex](x,y)[/tex] para los cuales
[center][tex](xy-7)^2=x^2+y^2[/tex][/center]
Problema 6. Un juego es disputado por dos jugadores sobre un plano infinito que contiene 51 piezas, siendo 50 ovejas y 1 lobo. El primero jugador inicia el juego moviendo el lobo. En seguida, el segundo jugador mueve alguna oveja, y así sucesivamente. En cada movimiento, una pieza se puede mover a una distancia de un metro . ¿Es verdad que , independiente de la posición inicial de las piezas, el lobo siempre consigue capturar al menos una oveja?
