Problema 1. Sea [tex]n[/tex] un entero no negativo. Pruebe que los números [tex]n+2[/tex] y [tex]n^2+n+1[/tex] no pueden ser ambos cubos perfectos.
Problema 2. Las circunferencias [tex]C_1[/tex] y [tex]C_2[/tex] se intersectan en los puntos [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex]. Por el punto [tex]A[/tex] se traza una recta que corta a las circunferencias [tex]C_1[/tex] y [tex]C_2[/tex] en [tex]C[/tex] y [tex]D[/tex] respectivamente. Por los puntos [tex]C[/tex] y [tex]D[/tex] se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se intersectan en el punto [tex]M[/tex]. Demuestre que el cuadrilátero [tex]MCBD[/tex] es cíclico.
Problema 3. Sea [tex]n=2^k[/tex]. Pruebe que siempre se pueden elegir [tex]n[/tex] enteros entre cualquiera [tex]2n-1[/tex] enteros, de tal forma tal que su suma sea divisible por [tex]n[/tex].
Problema 4. En un [tex]\triangle{ABC}[/tex] la bisectriz del ángulo en [tex]A[/tex] intersecta a [tex]BC[/tex] en [tex]D[/tex]. La perpendicular a [tex]AD[/tex] que pasa por [tex]B[/tex], intersecta a [tex]AD[/tex] en [tex]E[/tex]. El segmento que pasa por [tex]E[/tex] paralelo a [tex]AC[/tex] intersecta a [tex]AB[/tex] en [tex]H[/tex] y a [tex]BC[/tex] en [tex]G[/tex]. Si [tex]AB=26[/tex], [tex]BC=28[/tex] y [tex]AC=30[/tex], ¿cuánto mide [tex]DC[/tex]?
Problema 5. Pruebe que [tex]\forall a, b, c>0[/tex]
[center][tex]\displaystyle{\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}}\geq ab+bc+ca[/tex][/center]
Problema 6. Los enteros positivos son particionados en algunos conjuntos [tex]A_1, A_2, ..., A_n[/tex], tales que, para [tex]i=1,2,...,n[/tex], si [tex]x\in A_i[/tex], entonces [tex]2x\not\in A_i[/tex]. ¿Cuál es el mínimo valor de [tex]n[/tex]?
