Lista de problemas Nº5

assassin

Problema 1. Los lados [tex]BA[/tex] y [tex]CA[/tex] del [tex]\triangle{ABC}[/tex] son extendidos a través de [tex]A[/tex] para formar los rombos [tex]BATR[/tex] y [tex]ACNK[/tex]. [tex]BN[/tex] y [tex]BC[/tex], que se intersectan en [tex]P[/tex], cortan a [tex]AC[/tex] en [tex]M[/tex] y a [tex]AB[/tex] en [tex]S[/tex]. Una paralela a [tex]AB[/tex] que pasa por [tex]M[/tex] corta al lado [tex]BC[/tex] en [tex]Q[/tex]. Probar que [tex]ASQM[/tex] es un rombo.

Problema 2. Una función [tex]f(m,n)[/tex] es definida para todos los enteros [tex]m\geq n[/tex] mediante

[center][tex]f(m,n) = \sqrt{n+f(m,n+1)}[/tex][/center]

[center][tex]f(n,n) = \sqrt{n}[/tex][/center]

Probar que [tex]f(2011,1)<2[/tex].

Problema 3. Un rectángulo puede ser dividido en 200 y 288 cuadrados iguales. Pruebe que también puede ser dividido en 392 cuadrados iguales.

Problema 4. Si [tex]a, b, c\geq 1[/tex]. Probar que

[center][tex]4(abc+1)\geq (1+a)(1+b)(1+c)[/tex].[/center]

Problema 5. Sea [tex]a_1, a_2, ..., a_n[/tex] una permutación de [tex]1, 2, ..., n[/tex]. Si [tex]n[/tex] es impar, demuestre que el producto [tex]P=(a_1-1)(a_2-2)\cdots (a_n-n)[/tex] es par.

Problema 6. Muestre que la ecuación

[center][tex](x+1)^2+(x+2)^2+\cdots+(x+2001)^2=y^2[/tex][/center] no tiene soluciones enteras.

gergajar

Problema 6:

[tex](x+1)^2+(x+2)^2+...+(x+2001)^2=y^2[/tex]

Simplificando:

[tex]2001x^2+2001*2002x+667*1001*4003=y^2[/tex]

Asumiendo que x e y son enteros y como 2001 es múltiplo de 3, aplicamos mód. 3:

[tex]y^2=2001x^2+2001*2002x+667*1001*4003\equiv 2 (mod. 3)[/tex]

[tex]\Longrightarrow\Longleftarrow[/tex]

Concluimos que la ecuación no tiene soluciones enteras.

assassin

Problema 6:

[tex](x+1)^2+(x+2)^2+...+(x+2001)^2=y^2[/tex]

Simplificando:

[tex]2001x^2+2001*2002x+667*1001*4003=y^2[/tex]

Asumiendo que x e y son enteros y como 2001 es múltiplo de 3, aplicamos mód. 3:

[tex]y^2=2001x^2+2001*2002x+667*1001*4003\equiv 2 (mod. 3)[/tex]

[tex]\Longrightarrow\Longleftarrow[/tex]

Concluimos que la ecuación no tiene soluciones enteras.

Suponiendo que en una prueba escribirás más que esto xD, solución correcta.

jumbito

P6'. Muestre que la ecuación [tex](x+1)^2+(x+2)^2+...+(x+2011)^2=y^2[/tex] no tiene soluciones enteras

EDICIÓN:

Problema 6:

[tex](x+1)^2+(x+2)^2+...+(x+2001)^2=y^2[/tex]

Simplificando:

[tex]2001x^2+2001*2002x+667*1001*4003=y^2[/tex]

Asumiendo que x e y son enteros y como 2001 es múltiplo de 3, aplicamos mód. 3:

[tex]y^2=2001x^2+2001*2002x+667*1001*4003\equiv 2 (mod. 3)[/tex]

[tex]\Longrightarrow\Longleftarrow[/tex]

Concluimos que la ecuación no tiene soluciones enteras.

Ese signo de [tex]\Rightarrow\Leftarrow[/tex] que simboliza una "contradicción" no está siendo bien usado, por que no estás dando contradicción a nada. Deberías haber partido diciendo "Supongamos que la ecuación no tiene soluciones enteras ..." y de tu desarrollo sale la contradicción a la suposición inicial ;) es un buen consejo para mejorar la redacción. Lo de las sumas que hiciste no es necesario demostrarlas pero sí mencionarlas, lo mismo para [tex]x^2\equiv 0,1\pmod 3[/tex]

gergajar

Pero si comienzo suponiendo que no tiene soluciones enteras y llego a una contradicción, concluiría que si tiene... en este caso yo supuse que si tenía para poder aplicar mod 3 y ahi llegar a la contradiccion :?

jumbito

Pero si comienzo suponiendo que no tiene soluciones enteras y llego a una contradicción, concluiría que si tiene... en este caso yo supuse que si tenía para poder aplicar mod 3 y ahi llegar a la contradiccion :?

Me refiero a que nunca escribiste explicitamente que estabas asumiendo que existía solución, se que asi lo hiciste pero nunca lo mencionas (es un detalle pero siento que vale la pensa recalcarlo)

snw

Tiene razon felipe, es muy importante la redaccion de las soluciones. Si no explican bien sus ideas les pueden cobrar en puntos.

elgik

Problema 5

[spoiler]Consideremos a cada factor [tex](a_i-i)[/tex] como una casilla, de donde como [tex]n[/tex] es impar, tenemos que desde 1, a [tex]n[/tex] hay [tex]\frac{n+1}{2}[/tex] números impares.

Notar que estamos tenemos una doble repartición sobre esas [tex]n[/tex] casillas, de los [tex]a_i\in\left\{a_1,\ldots,a_n\right\}[/tex] y la de los [tex]i\in\left\{1,\ldots,n\right\}[/tex], y dado que [tex]\frac{n+1}{2}+\frac{n+1}{2}=n+1[/tex] entonces por principio del palomar, tendremos que en al menos una casilla, habrán dos números impares, y por ende, dado que la resta dos números impares es par, tenemos que el producto [tex]P[/tex] es par, demostrando lo pedido [tex]\blacksquare[/tex][/spoiler]

Saludos