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Olimpíada Nacional de Matemáticas 2011
Nivel Mayor
Jueves 15 de Diciembre
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Problema 1. Encuentre todas las soluciones [tex](a,b,c)[/tex] en los números naturales, verificando [tex]1\leq a\leq b\leq c[/tex], de la ecuación
[center][tex]\displaystyle\frac{3}{4}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex][/center]
Problema 2. Sea [tex]O[/tex] el centro del círculo circunscrito al triángulo acutángulo* [tex]ABC[/tex] y sean [tex]S_A[/tex], [tex]S_B[/tex], [tex]S_C[/tex] las circunferencias centradas en [tex]O[/tex] que son tangentes a los lados [tex]BC[/tex], [tex]CA[/tex] y [tex]AB[/tex] respectivamente. Muestre que la suma del ángulo entre las dos tangentes a [tex]S_A[/tex] desde [tex]A[/tex] más el ángulo entre las dos tangentes a [tex]S_B[/tex] desde [tex]B[/tex] más el ángulo entre las tangentes a [tex]S_C[/tex] desde [tex]C[/tex] es 180 grados.
Problema 3. Considere la siguiente figura formada por 10 nodos y 15 aristas:
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Pruebe que las aristas de la figura no se pueden colorear utilizando 3 colores diferentes de forma que las 3 aristas que llegan a cada nodo tengan colores distintos entre sí.
Problema 4. Se pretende confeccionar un mapa localizando 30 ciudades distintas en él. para esto, se dispone como datos todas las distancias entre estas ciudades (cada una de estas distancias es considerada como un "dato").
Tres de estas ciudades ya están dispuestas en el mapa, y ellas resultan ser no colineales. ¿Cuántos datos se deben usar como mínimo para completar el mapa?
*El enunciado original no dice acutángulo, cuando es rectángulo se degenera un círculo y cuando es obtusángulo el problema no es válido.
