tomas_rodriguez_12
\text{Notemos que } 2^{18}=(2^{6})^{3}\text{, entonces podemos usar la factorización de suma de cubos, quedandonos}\\
\text{lo siguiente: }2^{18}+1=(2^6+1)((2^6)^2+2^6+1)=(64+1)(2^{12}-2^6+1)=65(2^6(2^6-1)+1)\\
=5\cdot13(64\cdot63+1)=5\cdot 13(4032+1)=5\cdot13\cdot4033.\\
\text{Ahora nos queda ver la factorización prima de 4033, para ello, ocuparemos las reglas de}\\
\text{divisibilidad más populares, para luego empezar a dividir normalmente.}\\
\text{2}\nmid4033\because2\nmid3\\3\nmid 4033\because 3\nmid4+0+3+3\\5\nmid4033\because5\nmid3\\7\nmid4033\because7\nmid403-2\cdot3\because7\nmid39-2\cdot7\\11\nmid4033\because 11\nmid3+0-(3+4)\\13\nmid4033\because 13\nmid403+4\cdot3\because13\nmid41+4\cdot5\\
\text{Para ir terminando, empezaremos a dividir el 4033 con los primos que nos faltan }\\
4033=17\cdot237+4\\ 4033=19\cdot212+5\\ 4033=23\cdot175+8\\ 4033=29\cdot139+2\\4033=31\cdot130+3\\
4033=37\cdot109+0\\
\text{Entonces tenemos que }2^{18}+1=5\cdot13\cdot37\cdot109\text{, solo nos falta ver si 109 es primo o compuesto},\\\text{lo cual se puede saber viendo que ningún primo menor que }\sqrt{109}\text{ divide a 109, y como }\sqrt{109}<11\\\text{entonces 109 es primo, quedandonos que }2^{18}+1=5\cdot13\cdot37\cdot109.
