impure
Considerar x,y,z reales positivos distintos tales que si a y b son constantes suplen el siguiente sistema:
x+y+z=a
x^2+y^2+z^2=b^2
xy=z^2
Resuelvalo.
Fuente: IMO 1961 P1
matthies
De la segunda ecuación:
b^2=x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+2z^2-z^2, pero de la tercera igualdad:
b^2=x^2+y^2+2xy-z^2=(x+y)^2-z^2=(x+y+z)(x+y-z), pero x+y+z=a
\Rightarrow b^2=a(x+y-z) \Rightarrow x+y-z=\dfrac{b^2}{a}, sumando esta igualdad a la primera ecuación resulta:
2(x+y)=\dfrac{a^2+b^2}{a} \Rightarrow x+y=\dfrac{a^2+b^2}{2a}
\Rightarrow z=a-(x+y)=a-\dfrac{a^2+b^2}{2a}=\dfrac{a^2-b^2}{2a}
\Rightarrow xy=z^2=\dfrac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}
pero y=\dfrac{a^2+b^2}{2a}-x \Rightarrow x(\dfrac{a^2+b^2}{2a}-x)=\dfrac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}
ordenando: 4a^2x^2-2a(a^2+b^2)x+(a^2-b^2)^2=0
\Rightarrow x=\dfrac{2a(a^2+b^2)\pm \sqrt{4a^2(a^2+b^2)^2-16a^2(a^2-b^2)^2}}{8a^2}
\Rightarrow x=\dfrac{(a^2+b^2)\pm \sqrt{(a^2+b^2)^2-4(a^2-b^2)^2}}{4a}
\Rightarrow y=\dfrac{(a^2+b^2)\mp \sqrt{(a^2+b^2)^2-4(a^2-b^2)^2}}{4a}
