Prueba de Selección Equipo Francés IMO 2005

luffy

PRUEBA DE SELECCIÓN EQUIPO FRANCÉS IMO
2005

Problema 1: Sean x, y dos enteros positivos tales que 3x^2+x=4y^2+y. Pruebe que x-y es un cuadrado perfecto.

Solución: (Pendiente)

Problema 2: Se dan dos triángulos rectos, tales que el incírculo del primero es igual al cicuncírculo del segundo. Sean S y S' las áreas del primer y segundo triángulo respectivamente.

Pruebe que \dfrac{S}{S'}\ge 3+2\sqrt{2}.

Solución: (Pendiente)

Problema 3: En un encuentro internacional de n\ge 3 participantes, se hablan 14 idiomas distintos. Nosotros sabemos que:

- Cualesquiera 3 participantes hablan al menos un idioma en común.
- Ningún idoma es hablado por más de la mitad de los participantes.

¿Cuál es el menor valor de n?

Solución: (Pendiente)

Problema 4: Sea X un subconjunto no vacío de \mathbb{N}. Suuponga que para todo x\in X, 4x\in X y \lfloor \sqrt{x}\rfloor \in X. Pruebe que X=\mathbb{N}.

Solución: (Pendiente)

Problema 5: Sea BC un triángulo tal que BC=AC+\dfrac{1}{2}AB. Sea P un punto de AB tal que AP=3PB. Pruebe que \angle PAC=2\angle CPA.

Solución: (Pendiente)

Problema 6: Sea P un polinomio de grado n\ge 5 con coeficientes enteros dados por:
P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0 con a_i\in \mathbb{Z}, a_n\neq 0.
Suponga que P tiene n raices enteras distintas: 0,\alpha _2,...,\alpha _n. Encuentre todos los enteros k tales que P(P(k))=0.

Solución: (Pendiente)

sebagarage

Revisa el problema 4 porque no se cumple la afirmación.

luffy

Revisa el problema 4 porque no se cumple la afirmación.

ahi si, gracias por la acotación

makmat

Ver el siguiente link: http://www.fmat.cl/index.php?s=&showtop ... t&p=474906

Hay una solucion mucho mas simple, que fue la que hice en la prueba.

Saludos.