chaparrón
Determinar todos los p \in N tales que:
p, p + 2,p + 6,p + 8,p + 12,p + 14
son todos primos.
jumbito
Digamos que p\equiv x(mod.5) (donde x=\{0,1,2,3,4.\}), luego:
p \equiv x(5)
p+2\equiv x+2(5)
p+6\equiv x+1(5)
p+8\equiv x+3(5)
p+12\equiv x+2(5)
p+14\equiv x+4(5)
Si x=0, y del hecho que p es primo, se verifica que p=5, que cumple con lo pedido.
Si x=1, y como p+14 es primo, se tiene que p+14=5 absurdo.
Si x=2, y como p+8 es primo, se tiene que p+8=5 absurdo.
Si x=3, y como p+2 es primo, entonces
i)p+2=5\Rightarrow p=3, que no cumple lo pedido.
ii)p+12=5 otro absurdo.
Si x=4, y como p+6 es primo, se tiene que p+6=5, absurdo.
Finalmente el unico p que satisface es p=5.
Saludos amigo Chaparrón
chaparrón
Al parecer está correcta la respuesta.
Yo lo hice de esta forma:
Siempre se cumple que
p \equiv 1,2,3,5,7,9\left( {\bmod 10} \right)
Se dan los siguientes casos:
Caso 1 p \equiv 2\left( {\bmod 10} \right)
Se descarta, pues el único caso p=2 haría que las sumas siguientes sean divisibles por 2
Caso 2 p \equiv 1\left( {\bmod 10} \right)
Se descarta también, pues implica que p + 14 \equiv 5\left( {\bmod 10} \right), entonces p + 14 sería divisible por 5
Caso 3 p \equiv 3\left( {\bmod 10} \right)
También se elimina esta opción, pues implica que p + 12 \equiv 5\left( {\bmod 10} \right), siendo p + 12 divible entre 5
Caso 4 p \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)
También se elimina por que implica que p + 8\equiv 5 \left( {\bmod 10} \right), quedando p + 8 divisible por 5
Caso 5 p \equiv 9\left( {\bmod 10} \right)
Se descarta por que quedaría que p + 6\equiv 5\left( {\bmod 10} \right), siendo p + 6 divisible por 5
Caso 6 p \equiv 5\left( {\bmod 10} \right)
El único caso p=5 satisface que las demas sumas sean también primos.
Por tanto el único p \in N que cumple es p=5
PD: De más está decir que p + 6,p + 8,p + 12,p + 14 no pueden ser 5
