¿Cuántas sumas distintas compuestas por 101 impares positivos que den 2013 se pueden escribir?

Considere que los números se pueden repetir y que al contar una suma que contiene a+b también se debe contar la suma que contiene b+a .

Una solución:

La suma de los 101 números impares se puede escribir:

[tex]\sum\limits_{i=1}^{101} (2k_i-1) = 2013[/tex] [tex]\qquad[/tex] con [tex]k_i > 0[/tex]

[tex]\sum\limits_{i=1}^{101} 2k_i - 101 = 2013[/tex]

[tex]2\sum\limits_{i=1}^{101} 2k = 2114[/tex]

[tex]\sum\limits_{i=1}^{101} 2k = 1057[/tex]

Escribiremos:

[tex]\underbrace{1111...11}_{1057} = 1057[/tex]

Nuestro problema se reduce a ubicar 100 ceros en las 1056 posiciones entre los unos. Eso se puede hacer de

[tex]\binom{1056}{100}[/tex] maneras.