Sea [tex]f[/tex] una función que le asocia a cada real [tex]x[/tex] el menor elemento del conjunto { [tex]x−1,\frac{6−x}{2}[/tex] }. ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar [tex]f(x)[/tex] ?
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[/center]
Una solución:
Analizaremos dos casos:
[list=1]
[tex]\begin{align*}
x - 1 &< \frac{6-x}{2}\\
2x - 2 &< 6 - x\\
x &< \frac{8}{3}\end{align*}[/tex]
[tex]\begin{align*}
x - 1 &\geq \frac{6 - x}{2}\\
x &\geq \frac{8}{3}\end{align*}[/tex]
[/list]
Reescribimos:
[tex]f(x)=\begin{cases} x-1 & \text{si $ x< \frac{8}{3}$}\\ \frac{6-x}{2} & \text{si $x \geq \frac{8}{3}$}\end{cases}[/tex]
La función es creciente hasta [tex]x= \frac{8}{3}[/tex] y decreciente a partir de ahí, por lo que el máximo se alcanza en [tex]x = \frac{8}{3}[/tex].
Luego [tex]f\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{5}{3}[/tex] es el valor pedido.
