Triángulo Isósceles

chaparrón

Uno del entrenamiento:
En un triángulo ABC, M y N son los puntos medios de los lados \overline {AC} y \overline {AB} , respectivamente. P es el punto de intersección de \overline {BM} y \overline {CN}. Probar que si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero ANPM, entonces el triángulo ABC es isósceles.

jumbito

Es extrañamente insacable. Algun hint?

impure

>Es extrañamente insacable. Algun hint?

Este es un problema de las primeras ibero, no recuerdo cual ... filo, como hint para una solucion sin trigonometria usa el siguiente teorema.

Teorema de Pitot

En todo cuadrilátero (convexo), el cual se halle circunscrito a una circunferencia, se cumple:

\overline {PM} + \overline {ON} = \overline {OP} + \overline {NM}

Demostración:

Sean \overline {QM} = \overline {RM} = a (propiedad de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia) ;
\overline {RN} = \overline {SN} = b (por el caso anterior) ;
\overline {OT} = \overline {OS} = c y \overline {PT} = \overline {PQ} = d, luego:

\overline {PM} + \overline {ON} = \left( {\overline {PQ} + \overline {QM} } \right) + \left( {\overline {OS} + \overline {SN} } \right)
\overline {PM} + \overline {ON} = a + d + b + c
\overline {PM} + \overline {ON} = a + b + c + d{\text{ (1)}}

También:

\overline {OP} + \overline {NM} = \left( {\overline {OT} + \overline {PT} } \right) + \left( {\overline {RM} + \overline {RN} } \right)
\overline {OP} + \overline {NM} = c + d + a + b
\overline {OP} + \overline {NM} = a + b + c + d{\text{ (2)}}

Comparando {\text{(1)}} y {\text{(2)}}:

\overline {PM} + \overline {ON} = \overline {OP} + \overline {NM}

Recíproco: Si en un cuadrilátero convexo, se cumple que la suma de los lados opuestos equivale a la suma de los otros dos lados, entonces, una circunferencia puede ser inscrita en él. (Para demostrarlo se recomienda usar tecnica del punto falso)

jumbito

LOL estaba leyendo mal el problema :

impure

LOL estaba leyendo mal el problema :

Esperamos tu respuesta, cabe acotar que este problema es de una ibero no recuerdo cual xD

diegonavarro

Dare mi solucion:

Sean D,E,G,H los puntos de tangencias con los segmentos \overline{AC} , \overline{AB} , \overline{CN} . \overline{BM} , respectivamente.
Basta probar que \overline{NE} = \overline{MD}
Primero notemos que \overline{AD}= \overline{AE} , \overline{MD} = \overline{MH} , \overline{PH} = \overline{PG} , \overline{NG} = \overline{NE}, todas por ser tangencias.
Luego notemos que \overline{BE} = \overline{BH} por ser tangenias.

\overline{BE}=\overline{BH} ,\overline{BN}+\overline{NE}=\overline{BP} + \overline{PH}(*)
Analogamente \overline{CD} = \overline{CG} , \overline{CM}+\overline{MD} = \overline{CP}+ \overline{PG}(**)
Tambien notemos que P es el baricentro del triangulo, el cual divide a las medianas en la razon 1 , por lo tanto \overline{BP} = 2\overline{PM} y tambien \overline{CP} = 2\overline{PN}.
\overline{BP} = 2(\overline{PH}+\overline{HM}) , \overline{CP} = 2(\overline{PG}+\overline{GN})
Remplazando estos valores en (*)y en (**);
\overline{BN}+\overline{NE}=3\overline{PH}+2\overline{HM}
\overline{CM}+\overline{MD}=3\overline{PG}+2\overline{GN} restando estas ecuaciones y simplificando ( debido que \overline{PH}=\overline{PG} por ser tangencias).
\overline{BN}+\overline{NE}-(\overline{CM}+\overline{MD})=2\overline{HM}-2\overline{GN}
Como M y N son puntos medios ,
\overline{BN}=\overline{EN}+\overline{AE} y tambien \overline{CM}=\overline{MD}+\overline{DA} , rempazando;
2\overline{EN}+\overline{AE}-2\overline{MD}-\overline{AD}=2\overline{HM}-2\overline{GN}
Como \overline{NE}=\overline{NG} , \overline{HM}=\overline{MD} y \overline{AE}=\overline{AD}, llegamos a que;
4\overline{GN}=4\overline{HM} , \overline{GN}=\overline{HM} , \overline{NE} = \overline{MD} con esto demostramos lo que queriamos.

impure

a resueltos y cambiar a nivel mayor!!