el problema no tiene mayor dificultad, solo acotar que si $a,b,c$ estan en progresion armonica significa qe sus inversos multiplicativos estan en progresion aritmetica, saludos

Según la definición de la $P.A.:\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Rightarrow bc+ab=2ac$

$ac-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}=0$
$ac-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}+\frac{b^2}{4}=\frac{b^2}{4}$
$\left(c-\frac{b}{2}\right)\left(a-\frac{b}{2}\right)={\left(\frac{b}{2}\right)}^2$

Luego, el término en el segundo miembro será la media geométrica de los 2 del primero, es decir, éstos tres forman una P.G.