Demuestre sin usar inducción el Teorema del Binomio de Newton, que se enuncia como sigue:
Sea n un entero no negativo, y a,b números reales, entonces se tiene la relación:
(a+b)^n=\displaystyle\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+\binom{n}{n}b^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}a^{n-k}b^k}
No sé si era esto lo que se esperaba. Lo dejo en spoiler ya que soy un anciano.
[hide]En general lo que hacemos al multiplicar un binomio n veces es elegir un elemento por cada par\'entesis en la exprei\'on
\displaystyle(a+b)^n=\underbrace{(a+b)\cdot(a+b)\cdot\cdots\cdot(a+b)}_\text{n-veces}
Para fijar ideas concentrémonos en a. Si tomamos un potencia k con 0\leq k\leq n \quad que es donde puede variar el exponente de a ya que corresponden a los casos extremos de no elegir nunca a a y elegirlo siempre (notemos que por cada paréntesis siempre se debe elegir una opción así que el exponente de b queda completamente determinado tex[/tex] y así argumentamos la no pérdida de generalidad al olvidarnos de b). Consecuentemente, dado k, la manera de elegir k elementos entre n posibles sin considerar el orden es \binom{n}{k} . Finalmente para cada a^k (y por ende para cada a^k\cdot b^{n-k} )su coeficiente es \binom{n}{k} con lo que se obtiene lo pedido.
Nota. La propiedad de los coeficientes binomiales:
\displaystyle \binom{n}{k} =\binom{n}{n-k}
nos da confianza de lo hecho ya que el problema es completamente simétrico al considerar b.[/hide]
Saludos
