I - Métodos Básicos de conteo
Ejercicio I-1: Disponemos de dos dados (como ayuda, podemos considerar uno rojo y uno azul). Lanzamos ambos dados y anotamos el resultado de cada uno.
- ¿Cuántos resultados posibles podemos obtener?
- ¿En cuántos de estos resultados, uno de los números obtenidos es divisor del otro?
- ¿En cuántos de estos resultados, la suma de los números obtenidos es 7 ó 11?
- ¿En cuántos resultados la suma es par?
Ejercicio I-2: Si ahora lanzamos cuatro dados (uno rojo, uno azul, uno blanco y uno negro), ¿En cuántos resultados aparece por lo menos un número 6?
Ejercicio I-3: Con los dígitos 1 y 9 se construyen números de ocho dígitos, por e jemplo 11119999.
- ¿Cuántos números podemos formar?
- ¿Cuántos de estos números se leen igual de izquierda a derecha, o de derecha a izquierda?
- ¿Cuántos de estos números comienzan con 911 o bien tienen un dígito 9 en la séptima posición (o bien cumplen ambas condiciones)?
Ejercicio I-4: Para acceder a una rotonda, hay cuatro calles que sólo permiten ingresar, tres que sólo permiten salir, y cinco que permiten circular en ambos sentidos. ¿De cuántas maneras distintas puede un conductor ingresar a la rotonda y salir de ella (no tome en cuenta cuántas vueltas conduce en torno a la rotonda, sólo considere la vía de entrada y la vía de salida)?
Ejercicio I-5: ¿Cuántos números enteros positivos cumplen con las siguientes condiciones (en forma simultánea):
- Ninguno de sus dígitos puede ser igual a 0 o bien a 8
- El número es par
- El dígito de decenas es impar
- El número es menor que 700
Ejercicio I-6: En una cierta ciudad, el número de la patente de un automóvil se compone de dos letras del alfabeto griego, seguido de cuatro dígitos. Si las dos letras deben ser distintas, y el primer dígito no puede ser igual a 0, ¿Cuántas patentes pueden fabricarse en dicha ciudad?
II - Listas Ordenadas y Permutaciones
Problema II-1: ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto con [tex]n[/tex] elementos?
Problema II-2: ¿Cuántos números de seis dígitos, cada uno de ellos igual a 1, 2 ó 3, tienen la propiedad que la suma de sus dígitos es múltiplo de 3?
Problema II-3: Encuentre la suma de todos los números obtenidos al permutar los dígitos de 12345
Problema II-4: ¿Cuántas permutaciones de las letras A, B, C, D, E, F contienen las letras D, E, F juntas en algún orden?
III - Combinaciones
Problema III-1: ¿Cuántas cartillas de Loto pueden jugarse? (pueden experimentar con otros juegos millonarios de azar)
Problema III-2: Consideremos un tablero de ajedrez. Ubique un rey en la esquina superior izquierda. La intención es llegar a la esquina opuesta, con los movimientos usuales del rey, pero cada movimiento debe ser hacia la derecha o hacia abajo. Es evidente que se necesitan catorce movimientos. ¿Cuántas secuencias de movimientos permiten conseguir esta tarea?
Problema III-3: ¿De cuántas maneras pueden fotografiarse diez personas, una al lado de la otra, con la condición que Antonia, Patricia, Paulina y Julio (cuatro de estas diez personas) aparezcan en ese orden, de izquierda a derecha? No es necesario que estas cuatro personas estén una al lado de la otra. Pero Patricia debe estar a la derecha de Antonia, Paulina a la derecha de Patricia, y Julio a la derecha de Paulina.
Problema III-4: Con ayuda de la interpretación combinatoria (es decir: sin manipulación algebraica y sin teorema del binomio de Newton), explique por qué las siguientes igualdades son verdaderas. Considere que [tex]n[/tex] y [tex]k[/tex] son números enteros, con [tex]0\leq k\leq n[/tex] :
- [tex]\displaystyle\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1[/tex]
- [tex]\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}[/tex]
- [tex]\displaystyle\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}[/tex]
- [tex]\displaystyle\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}=2^n[/tex]
Problema III-4: ¿Cuántos subconjuntos con a lo sumo [tex]n[/tex] elementos, posee un conjunto con [tex]2n+1[/tex] elementos? Deduzca una fórmula que involucre números combinatorios, a partir de aquí.
[r]Guía hecha por Sebastián Puelma Moya.[/r]
