Solución:
Sea [tex]T[/tex] la intersección entre la circunferencia circunscrita del triángulo [tex]BDE[/tex] y el segmento [tex]AO[/tex]. Notemos que [tex]\angle{TDE}=90^{\circ}[/tex], pues [tex]\overleftrightarrow{OE}[/tex] es simetral del lado [tex]DB[/tex], por lo que contiene al circuncentro del triángulo [tex]DEB[/tex].
Por lo anterior, no es difícil ver que [tex]\triangle{TDO}\sim\triangle{TED}[/tex], de lo que se sigue [tex]\dfrac{TO}{OD}=\dfrac{DO}{OE}=\dfrac{1}{2}[/tex], es decir [tex]2TO=OD[/tex]. Pero [tex]OD=AO=AT+TO[/tex], luego [tex]AT=TO[/tex]. Demostrando así, que [tex]T[/tex] es punto medio del segmento [tex]AO[/tex]; lo que se pedía [tex]\blacksquare[/tex]
pd: la pondría en spoiler, pero al hacerlo se superpone el código latex al texto :
