Usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, construimos varios números de siete dígitos distintos. Determine si existen dos de ellos, distintos, tales que uno divide al otro.
Supongamos que existen [tex]a<b[/tex] con las condiciones del enunciado. Claramente el menor valor de [tex]a[/tex] es [tex]1234567[/tex] y como [tex]1+2+3+4+5+6+7=28[/tex] ni [tex]a[/tex] ni [tex]b[/tex] son divisibles por [tex]3[/tex]. Como ambos tienen la misma suma de dígitos son congruentes modulo 9 (propuesto) y por consiguiente su resta es divisible por 9 (propuesto), mas aun, como [tex]a \mid b \Rightarrow a \mid b-a \Rightarrow 0 \neq b-a=9ak[/tex] con [tex]k \in \mathbb{N}[/tex]. Esto ultimo es contradictorio pues el menor valor de [tex]9ak[/tex] es [tex]9 \cdot 123467 \cdot 1=11111103[/tex] que tiene mas de [tex]7[/tex] dígitos siendo que [tex]b-a[/tex] no.
Por lo tanto no existen [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] con las condiciones del enunciado.
Supongamos que existen [tex]a<b[/tex] con las condiciones del enunciado. Claramente el menor valor de [tex]a[/tex] es [tex]1234567[/tex] y como [tex]1+2+3+4+5+6+7=28[/tex] ni [tex]a[/tex] ni [tex]b[/tex] son divisibles por [tex]3[/tex]. Como ambos tienen la misma suma de dígitos son congruentes modulo 9 (propuesto) y por consiguiente su resta es divisible por 9 (propuesto), mas aun, como [tex]a \mid b \Rightarrow a \mid b-a \Rightarrow 0 \neq b-a=9ak[/tex] con [tex]k \in \mathbb{N}[/tex]. Esto ultimo es contradictorio pues el menor valor de [tex]9ak[/tex] es [tex]9 \cdot 123467 \cdot 1=11111103[/tex] que tiene mas de [tex]7[/tex] dígitos siendo que [tex]b-a[/tex] no. Por lo tanto no existen [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] con las condiciones del enunciado.
Respuesta correcta, aunque esperaba que alguien más respondiera ¬¬
