Como nadie hizo el problema y veo que esta desierto, compartiré mi solución al problema
Procedamos por contradicción, supongamos que si existen tales [tex]x,y,z[/tex] que cumplen lo pedido.Notemos que la ecuación es equivalente a:
[center][tex](2x+3)^{2}+(2y+3)^{2}+(2z+3)^{2}=7[/tex][/center]
Entonces consideremos los racionales [tex]\displaystyle x_{1}=2x+3[/tex], [tex]\displaystyle y_{1}=2y+3[/tex] y [tex]\displaystyle z_{1}=2z+3[/tex], entonces haciendo[tex]x_{1}=x_{2}/x_{3}[/tex], [tex]y_{1}=y_{2}/y_{3}[/tex] y[tex]z_{1}=z_{2}/z_{3}[/tex] con [tex]x_{2}, x_{3}, y_{2}, y_{3}, z_{2}, z_{3}[/tex] enteros, esto nos asegura que existen enteros [tex]a,b,c,d[/tex] tales que:
[center][tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=7d^{2}[/tex][/center]
Entonces tenemos 2 casos: [tex]d[/tex]es par o [tex]d[/tex] es impar.
Si d fuera par entonces [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=0 mod 4[/tex], entonces a,b,c son todos pares, entonces existen [tex]a`,b`,c`,d[/tex]` tales que [tex]a=2a`, b=2b`, c=2c`, d=2d`[/tex], es decir:
[center][tex]4a`^{2}+4b`^{2}+4c`^{2}=28d`^{2}[/tex][/center]
[center][tex]a`^{2}+b`^{2}+c`^{2}=7d`^{2}[/tex][/center]
Entonces al dividir tantos 2`s que tiene d, vamos a llegar a un instante en que d sea impar, entonces basta ver el caso en que d es impar. Luego si d es impar nos queda que [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=7=3 mod 4[/tex], entonces a,b,c son todos impares, sean [tex]a=2a`+1, b=2b`+1, c=2c`+1, d=2d`+1[/tex], vamos a tener que:
[center][tex](2a`+1)^{2}+(2b`+1)^{2}+(2c`+1)^{2}=7(2d`+1)^{2}[/tex]
[tex]4a`^{2}+4a`+1+4b`^{2}+4b+1+4c`^{2}+4c`+1=7*4d`^{2}+7*4d`+7[/tex]
[tex]4a`^{2}+4a`+4b`^{2}+4b`+4c`^{2}+4c`=7*4d`^{2}+7*4d`+4[/tex]
[tex]a`^{2}+a`+b`^{2}+b`+c`^{2}+c`=7d`^{2}+7d`+1[/tex][/center]
Pero notemos que n^2+n es par para todo n entero, entonces nos queda que que el lado izquierdo es par y el lado derecho es impar, contradicción. Luego no existen soluciones racionales, que era lo que queríamos demostrar [tex]\displaystyle \blacksquare[/tex]
Saludos :)!!!
