Determinelos

impure

Determinar todos los numeros de tres digitos n que tienen la propiedad que son divisibles por 11 y ademas \frac{n}{11} es igual a la suma de los cuadrados de los digitos de n.

Fuente: IMO 1960 P1

jumbito

Definimos n=\overline{xyz}=100x+10y+z. 11|n unicamente cuando se presenta uno de los siguientes casos

Caso 1: x-y+z=0\Rightarrow x+z=y
Caso 2: x-y+z=11\Rightarrow x+z-11=y

Tomando el primer caso n/11=\sum x^2=x^2+(x+z)^2+z^2
\Rightarrow 100x+10(x+z)+z=11(x^2+(x+z)^2+z^2).
Operando un poco llegamos a que esto es equivalente a
10x+z=x^2+(x+z)^2+z^2 (1)

Ahora bien el lado derecho de (1) es par, de aquí que z\in\{0,2,4,6,8\}.
Analizando cada una de esas ecuaciones cuadráticas llegamos a que n=550 es la solución a nuestro problema.

Tomando el segundo caso n/11=\sum x^2=x^2+(x+z-11)^2+z^2
\Rightarrow 100x+10(x+z-11)+z=11(x^2+(x+z-11)^2+z^2).
Operando un poco llegamos a que esto es equivalente a
10x+z-10=x^2+(x+z-11)^2+z^2 (2)

El lado derecho de (2) es impar, por lo que z\in\{1,3,5,7,9\}.
Analizando estas ecuaciones cuadráticas concluimos que n=803 satisface las condiciones.

Finalemente n=550,803.

jumbito

Respuesta editada, revisar porfavor.

impure

bien

s.e.puelmamoya

11|n ssi x-y+z=0\Rightarrow x+z=y

En realidad, la regla de divisibilidad por 11 (para números con tres dígitos) es:

11|n ssi 11|(x-y+z)

Como x, y, z son dígitos, debes considerar también el caso x-y+z=11.

jumbito

11|n ssi x-y+z=0\Rightarrow x+z=y
En realidad, la regla de divisibilidad por 11 (para números con tres dígitos) es:

11|n ssi 11|(x-y+z)

Como x, y, z son dígitos, debes considerar también el caso x-y+z=11.

Tienes razón. Juraba que la regla de divisibilidad era sólo cuando la suma tenia valor 0.
Gracias por hacerlo notar, antes de que tenga el mismo error en una prueba.

Editando la respuesta con el caso faltante.

impure

a resueltos porfa y mover a nivel mayor