Problema Nº 4

elnumerodeoro

Tres circunferencias de igual radio se intersectan en un punto P.

Demostrar que P es el ortocentro del triángulo cuyos vértices son las otras intersecciones de las circunferencias.

niklaash

Solucion:

[hide][/hide]

Sean [tex]O_1,O_2,O_3[/tex] y [tex]A,B,C[/tex] los vertices del triangulo.

Si trazamos los radios como muestra la figura, tenemos que el hexagono [tex]AO_1BO_2CO_3[/tex] tiene sus 6 lados iguales, en consecuencia [tex]O_1O_3//BC[/tex] debido que los cuadrilateros [tex]O_1BO_2P[/tex] y [tex]O_3CO_2P[/tex] son rombos opuestos.

Sea [tex]D[/tex] la interseccion de [tex]\overline{AP}[/tex] con [tex]\overline{BC}[/tex], pero el cuadrilatero [tex]AO_1PO_3[/tex] tambien es rombo, entonces [tex]\measuredangle PDC= 90[/tex] ya que [tex]AP[/tex] es eje radical.

Relizando un procidimiento analogo con los demas vertices, demostramos lo pedido.

Buster

No se ve la imagen. Por favor súbela a un hosting de imágenes como http://www.imgur.com o ponla de adjunto en tu post.

elnumerodeoro

Problema cerrado. Se evaluará la solución de Niklaash.

jouhui

[hide][/hide]

Llamaremos [tex]D[/tex] al punto de intersección entre [tex]AP[/tex] y [tex]BC[/tex].

1)[tex]\angle[/tex][tex]PBA[/tex] =[tex]\angle[/tex] [tex]PCA[/tex] = [tex]\angle[/tex][tex]a[/tex], ya que son inscritos en el mismo arco [tex]AP[/tex].

2)[tex]\angle[/tex][tex]PAB[/tex] =[tex]\angle[/tex] [tex]PCB[/tex] = [tex]\angle[/tex][tex]b[/tex], ya que son inscritos en el mismo arco [tex]BP[/tex].

3)[tex]\angle[/tex][tex]PAC[/tex] =[tex]\angle[/tex] [tex]PBC[/tex] = [tex]\angle[/tex][tex]c[/tex], ya que son inscritos en el mismo arco [tex]CP[/tex].

Considerando el [tex]\triangle[/tex][tex]ABC[/tex],

[center][tex]2a+2b+2c=180°[/tex][/center]

[center][tex]a+b+c=90°[/tex][/center]

Luego, por ser ángulo exterior, [tex]\angle[/tex][tex]DPC[/tex]=[tex]\angle[/tex][tex]PCA[/tex] + [tex]\angle[/tex][tex]PAC[/tex] = [tex]a+c[/tex]

Entonces, considerando el [tex]\triangle[/tex][tex]PDC[/tex]:

[center][tex](a+c) + b + \angle[/tex][tex]PDC[/tex] = 180°[/center]

[center][tex]90° + \angle[/tex][tex]PDC[/tex] = 180°[/center]

[center][tex]\angle[/tex][tex]PDC[/tex] = 90°[/center]

Luego, podemos realizar el mismo procedimiento con los ángulos formados entre [tex]BP[/tex] y [tex]AC[/tex], y entre [tex]CP[/tex] y [tex]BC[/tex], llegando a la misma conclusión: son ángulos rectos.

De esta forma, queda demostrado que [tex]P[/tex] es el ortocentro del [tex]\triangle[/tex][tex]ABC[/tex].