Me parece raro lo que se pide demostrar, ya que no es dificil ver si una sucesion posee [tex]1[/tex] cuadrado perfecto, entonces posee infinitos, aqui va su demostracion.
Demostracion:
Notemos que [tex]a_{n}=a_{n-1} + 2013[/tex] es equivalente a [tex]a_n=a_1+2013(n-1)[/tex], luego como existe un cuadrado perfecto en la sucesion, existe un [tex]j[/tex] tal que [tex]a_j = d^2[/tex] para algun entero [tex]d[/tex]
[tex]a_j=d^2[/tex]
[tex]a_{j+1}=d^2+2013[/tex]
[tex]\vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots[/tex]
[tex]a_{j+(2d+2013+1)} = d^2+2\cdot 2013 \cdot d + d^2 = (d+2013)^2[/tex]
Y si consideramos [tex]j+2d+2013=d'[/tex]es claro que este proceso se puede repetir una cantidad indefinida de veces, en consecuencia existen infinitos cuadrados perfectos en la sucesion.
Ahora que vimos esto podemos observar que la sucesion [tex]s_n=1+2013(n-1)[/tex] cumple con la regla de recurrencia del enunciado sin embargo tiene infinitos cuadrados perfectos (ya que [tex]a_1=1[/tex]) finalizamos
