[hide]Primero veamos que si el ABC es isosceles en A es directo, supongamos que no lo fuera y sin perdida de generalidad que P esta en el mismo semiplano que C determinado por AQ. También notemos que BQ=CP y CQ=BP, ahora aplicando la Ley de los Senos a los triángulos ABQ, ACQ, APB y APC tenemos que:
Sin(<ABQ)/Sin(<BAQ)=AQ/BQ (1)
Sin(<ACQ)/Sin(<QAC)=AQ/CQ (2)
Sin(<ABP)/Sin(<BAP)=AP/BP (3)
Sin(<PCA)/Sin(<PAC)=AP/PC (4)
Ahora como el BNMC es cíclico vamos a tener que <NBM=<NCM y como <PBQ=<PCQ tenemos que <ABQ=<ACQ. Dividiendo (1) por (2) y (3) por (4) llegamos a:
Sin(<QAC)/Sin(<BAQ)=CQ/BQ
Sin(<PAC)/Sin(<BAP)=PC/BP
Ahora Sin(<QAC)/Sin(<BAQ)=CQ/BQ=BP/CP=Sin(<BAP)/Sin(<PAC), con esto concluimos que son Isogonales(Se puede proceder de 2 formas, por punto falso o isoconjugación). Demostrando lo pedido [tex]\displaystyle \blacksquare[/tex][/hide]
Saludos :)!!!
