Lema:

Si la [tex]C_2[/tex]es tangente interior a [tex]C_1[/tex] en [tex]B[/tex], y [tex]\overline {AQ}[/tex] es tangente a [tex]C_2[/tex] en [tex]T[/tex], entonces [tex]\measuredangle QBT \cong \measuredangle TBA[/tex]

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Tracemos el radio [tex]\overline {O_1T}[/tex] y notemos que [tex]\overline {BQ} // \overline {O_1T}[/tex], sean [tex]\measuredangle QBT=\beta[/tex] y [tex]\measuredangle TBA=\alpha[/tex] , luego el [tex]\triangle TAO_1[/tex] es isosceles, de esto se concluye la congruencia de angulos.

Solucion al problema:

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Sea [tex]O[/tex] el centro de la circunferencia grande, tracemos el radio [tex]\overline {OP}[/tex], sea [tex]\alpha[/tex] el [tex]\measuredangle PBA[/tex], luego por el lema, tenemos que el [tex]\measuredangle QBA=2 \alpha[/tex], por otro lado tenemos que el [tex]\measuredangle POA=2 \alpha[/tex] entonces los [tex]\triangle ABQ ∼ \triangle POH[/tex] por criterio de semejanza [tex]A[/tex].[tex]A[/tex], de esto se sigue:

[tex]\frac{PH}{AQ}=\frac{PO}{AB}=\frac{2PO}{PO}=\frac{2}{1}[/tex]

Por lo tanto [tex]\frac{h}{AQ}=2[/tex]

Saludos !!!