25ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS
Prueba de clasificación, Nivel menor.
Primera prueba
Problema 1. Dentro de un triángulo equilátero de lado 3 se marcan 5 puntos. Demuestre que hay dos de estos puntos a una distancia menor o igual que \frac{3}{2}
Problema 2. Sobre cada una de las casillas de un tablero de 3\times3 se escribe 0, ó -1 ó 1. Demuestre que de entre todas las filas y columnas, existen dos de manera tal que las sumas de las casillas correspondientes son iguales.
Problema 3. Considere un tablero cuadriculado de 2012\times2013 casillas. ¿Cuántas casillas atraviesa una línea diagonal del tablero?
Aclaración: decimos que una línea atraviesa una casilla cuando pasa por el interior de esta.
Tiempo: 2 horas
Segunda prueba
Problema 4. Sobre una pizarra están escritos los números
Se quiere colocar símbolos + ó - delante de cada número y considerar el resultado de la suma correspondiente.
¿Es posible colocar los símbolos de manera que la suma resultante sea 300?
¿Es posible colocar los símbolos de manera que la suma resultante sea 0?
Problema 5. Considere un triángulo. Demuestre que existen 4 puntos sobre los lados del triángulo formando un cuadrado.
Problema 6. En la fiesta de celebración de los 25 años de la Olimpiada Nacional de Matemática participan 100 estudiantes. Cada hombre en la fiesta conoce exactamente a 2 mujeres de la fiesta y cada mujer exactamente a 2 hombres de la fiesta. Si los participantes solo bailan con personas conocidas, demuestre que es posible que todos los participantes bailen al mismo tiempo.
Tiempo: 2 horas
