[center]25ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS[/center]
[center]Prueba de clasificación, Nivel Mayor.[/center]
Primera prueba
Problema 1.
Dentro de un triángulo equilátero de lado [tex]4[/tex] se marcan [tex]10[/tex] puntos. Demuestre que hay dos de estos puntos a una distancia menor o igual que [tex]\sqrt{3}[/tex].
Problema 2.
Un cierto país tiene [tex]n[/tex] ciudades y [tex]\frac{n^2 - 3n + 4}{2}[/tex] vuelos directos entre algunos pares de ciudades. Suponga que no hay dos ciudades con más de un vuelo directo entre ellas y que los vuelos directos se pueden hacer en cualquiera de los dos sentidos. Demuestre que se puede llegar desde cualquier ciudad a cualquier otra del país a través de alguna combinación de vuelos.
Problema 3.
Considere un tablero cuadriculado de [tex]m[/tex] x [tex]n[/tex] casillas. ¿Cuántas casillas atraviesa una línea diagonal del tablero?
Aclaración: Decimos que una línea atraviesa una casilla cuando pasa por el interior de ésta.
Segunda prueba
Problema 4.
Sobre un pizarrón están escritos los números
[center][tex]1\quad 2\quad 3\quad 4\quad 5\quad \dots \quad 21\quad 22[/tex][/center]
Se quieren colocar los símbolos [tex]+[/tex] ó [tex]-[/tex] delante de cada número y considerar el resultado de la suma correspondiente.
[tex]\qquad[/tex] 1. ¿Es posible colocar los símbolos de manera que la suma resultante sea [tex]0[/tex]?
[tex]\qquad[/tex] 2. Muestre que existe algún resultado que se puede obtener colocando los símbolos [tex]+[/tex] ó [tex]-[/tex] en al menos 16000 maneras distintas.
Problema 5.
Sobre las casillas de un tablero de [tex]5[/tex] x [tex]5[/tex] se escriben de manera desordenada los números del [tex]1[/tex] al [tex]25[/tex]. Demuestre que existe una fila de manera tal que el producto de sus casillas es divisible por [tex]32[/tex].
Problema 6.
Para promocionar los [tex]25[/tex] años de la Olimpíada Nacional de Matemática, la comisión olímpica confeccionó posters y cartas postales de menor tamaño, utilizando exactamente la misma imagen. Sobré el escritorio del profesor Cortés hay un poster estirado y sobre éste, sin sobresalir, hay una carta postal. El profesor Cortés nota un fenómeno muy particular: hay un punto de ambas imágenes que está situado exactamente en la misma posición sobre el escritorio. Demuestre que tal fenómeno siempre se tiene. Determine si es posible que haya más de un punto con tal propiedad.
