sebagarage
20ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS
Prueba de Clasificación, Nivel Menor
Primera Prueba
Problema 1: Se tienen 680 naranjas apiladas en una piramide triangular. ¿Cuántas naranjas hay en la base de la pirámide?
Problema 2: En cada lado de un cuadrado de lado 5\ cm se marcan cuatro puntos de modo de subdividir cada lado en cinco partes iguales, y se unen como en la figura. ¿Cuál es el area de la región achurada?
Problema 3: El conjunto \mathbb{Z} de los números enteros es dividido en n partes (disjuntas) y no vacías A_1,A_2,...,A_n que verifican la siguiente propiedad: si a y b pertenecen a A_i entonces su suma a+b pertenece al mismo conjunto A_i. Determine los posibles valores del entero positivo n.
Segunda Prueba
Problema 4: Encuentre todos los enteros positivos a,b tales que
(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=2
Problema 5: Se tiene un triángulo rectángulo de catetos 5\ cm y 12\ cm. Con centro en cada cateto se construye una circunferencia que pasa por el vértice del ángulo recto y es tangente a la hipotenusa (vea la figura). Calcule la razón entre los radios de ambas circunferencias.
Problema 6: En cada casilla de un tablero de 7\times 7 hay una ampolleta. Además, se cuenta con 14 interruptores. Para cada fila existe un interruptor que, al ser presionado, cambia el estado de las ampolletas de dicha fila (las que estaban encendidas se apagan, y las que estaban apagadas se encienden). Para cada columna se cuenta también con un interruptor que cambia el estado de las ampolletas en ella. Usando estos interruptores, ¿es siempre posible llegar, a partir de cualquier estado inicial, a un estado en el cual el número de ampolletas encendidas en cada fila o columna es \le al de ampolletas apagadas de dicha fila o columna?
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Problema 1
Lo primero que hay que notar es que es una pirámide y no un triángulo, es decir, estamos hablando de tres dimensiones.
Lo segundo es que lo más fácil (y quizá lo más rápido) es contar piso por piso el número de naranjas. Para eso consideraremos los pisos desde arriba hacia abajo, es decir, el primer piso será el vértice y así sucesivamente.
Claramente en el primer piso hay una naranja y en el segundo tres naranjas (pues es una pirámide triangular). Lo que tal vez no es tan obvio es cuántas naranjas hay en los siguientes pisos. Para responder eso, deben notar que como es una pirámide triangular, todos los pisos están formados por un triángulo de naranjas que va creciendo conforme aumentan los pisos.
Sólo falta notar como es que crecen los triángulos, que es agregando una base que tiene una naranja más que la base anterior. Ahora contemos:
El piso nº1 tiene 1 naranja. Total de naranjas hasta el momento = 1.
El piso nº2 tiene 1+2=3 naranjas. Total de naranjas hasta el momentos = 4.
El piso nº3 tiene 1+2+3=6 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 10.
El piso nº4 tiene 1+2+3+4=10 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 20.
El piso nº5 tiene 1+...+5=15 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 35.
El piso nº6 tiene 1+...+6=21 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 56.
El piso nº7 tiene 1+...+7=28 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 84.
El piso nº8 tiene 1 +...+8=36 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 120.
El piso nº9 tiene 1+...+9=45 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 165.
El piso nº10 tiene 1+...+10=55 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 220.
El piso nº11 tiene 1+...+11=66 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 286.
El piso nº12 tiene 1+...+12=78 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 364.
El piso nº13 tiene 1+...+13=91 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 455.
El piso nº14 tiene 1+...+14=105 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 560.
El piso nº15 tiene 1+...+15=120 naranjas. Total de naranjas hasta el momento = 680.
Por tanto la base de la pirámide tiene 120 naranjas.
jumbito
P2
Lo que hacemos aqui es pintar ciertas zonas del cuadrado inicial. Se pintan los "bordes" de colores celeste, esmeralda (creo), naranjo y rojo. Lo que hacemos a continuacion es pegar la parte esmeralda junto a la naranja, quedando un triangulo verde. De la misma forma se pega el celeste sobre el rojo quedando un azul. El area de la figura conseguida es 5^2=25, al area del cuadrado original, pues lo unico que hicimos fue trasladar areas (y formamos finalmente la figura que esta encerrada en una linea negra). Ahora bien, esta area se divide en 26 cuadraditos, entonces el area de lo achurado (que en el fondo es cada cuadradito) es \frac{25}{26}.
sebagarage
Con respecto a la solución del problema 2 falta argumentar porque los cuadriláteros pequeños son en efecto cuadrados y porque los triángulos calzan al desplazarlos. Aparte de eso está correcta.
sebagarage
Problema 3
La dificultad está en la comprensión del problema.
Cuando esto sucede una buena forma de atacarlo es tomando casos particulares (nótese que conjuntos disjuntos quiere decir que no hay dos conjuntos con el mismo elemento).
Por ejemplo, si n=1 entonces en efecto eligiendo A_1=\mathbb{Z} (todos los enteros) vemos que satisface la propiedad del enunciado (pues la suma de dos enteros siempre da como resultado otro entero).
Siguiendo vemos que con n=2 podemos elegir A_1=\mathbb{Z}^+\cup \{0\} (enteros no negativos) y A_2=\mathbb{Z}^- (enteros negativos) que satisfacen la propiedad, pues la suma de enteros no negativos da como resultado enteros no negativos (en A_1) y la suma de enteros negativos da como resultado enteros negativos (en A_2).
Para n=3 y derivado del caso n=2 podemos tomar A_1=\mathbb{Z}^+ (enteros positivos), A_2=\mathbb{Z}^- (enteros negativos) y A_3=\{0\} (solito el cero). Nuevamente los conjuntos satisfacen la propiedad (en el caso de A_3, la única suma posible es 0+0=0).
Ya debería entonces poder vislumbrarse que para n=4 y también para n>4 no hay solución. ¿Por qué? Pues porque en el conjunto en el que esté el 1 deben estar todos los enteros positivos. En efecto, si 1 \in A_i, entonces 1+1=2 \in A_i, entonces 1+2=3 \in A_i, y así sucesivamente. De igual forma en el conjunto en que esté el -1 deben estar todos lo entero negativos. Y de el total de enteros sólo resta el 0.
Por lo tanto, a lo más podemos dividir \mathbb{Z} en tres conjuntos disjuntos que satisfagan la propiedad (uno que tenga el 1, otro que tenga el -1 y otro que tenga el 0), esto es, n\leq 3.
Luego los únicos valores que cumplen son n=1, n=2 y n=3
