Problema 4. Se definen las sucesiones $x_n$, $y_n$ mediante las siguientes reglas
$x_0=2$,
$x_1=5$,
$x_{n+1}=x_n+2x_{n-1}$,
$y_0=3$,
$y_1=4$,
$y_{n+1}=y_n+2y_{n-1}$.

Pruebe que los conjuntos $\left\{x_n⩾0\right\}$ y $\left\{y_n⩾0\right\}$ son disjuntos.

Mi respuesta quizas les parecerá flaite, pero igual le doy:

Observemos que (Aplicando definción y reordenando en cada paso) :

$x_i=x_{i-1}+2x_{i-2}=3x_{i-2}+2x_{i-3}=5x_{i-3}+6x_{i-4}=\dots$
$=\dots =11x_{i-4}+10x_{i-5}=21x_{i-5}+22x_{i-6}=\dots$

Entonces se induce que ( y esta es la parte que es flaite, el valor especifico del k me dio lata hacerla y completarla rigurosamente):

Para $i$ par, se tiene que $x_i=(2k-1)x_1+2k{x}_0$ y para i impar, $x_i=(2k+1)x_1+2k{x}_0$, para algun natural k ( por determinar, pero de todas maneras no importa mucho su valor, pues es la deduccion que viene la que vale)

Puesto que las definiciones de $y_i$ y $x_i$ son equivalentes, se tiene que para $i\ge 2$ :

$x_i=5(2k-1)+4k$ , esto dice que siempre es un numero impar, y que que $y_i=4(2k-1)+3(2k)$, esto dice que siempre es un numero par, luego los conjuntos $\{x_i\ge 0\}$ y $\{y_i\ge 0\}$ son disjuntos.

salu2

PD: oh que raro..se vee remal el latex

Dado que Jorgeston calificó su solución como "posiblemente flayte", voy a explicar los puntos clave de la solución correcta. $x_n\ge 6,y_n\ge 6$, para cada n>2
$x_{n+1}-x_n$ y $y_{n+1}-y_n$ son pares, para cada n>1Como $x_1$ es par e $y_1$ es impar, entonces todos los elementos del conjunto $\{x_n\ge 1\}$ son impares y todos los elementos del conjunto $\{y_n\ge 1\}$ son pares. Por lo tanto estos conjuntos son disjuntos y ninguno contiene a 2 y 3.

Con respecto al comentario de iMPuRe: seguramente estás hablando de relaciones de recurrencia homogéneas lineales con coeficientes constantes (estoy "90% seguro" del nombre), tal vez se los haya comentado a ustedes en algún entrenamiento...

...tienes una relación de recurrencia, en que $a_n$ es una combinación lineal (de ahí los términos "lineal" y "coeficientes constantes") de los términos $a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-r}$. Un buen ejemplo es la recurrencia en la sucesión de Fibonacci:

$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$

La sucesión queda bien definida con esta recurrencia y los primeros r valores

Para resolver, comenzamos con "llevar todo al lado izquierdo de la igualdad" (de ahí el término "homogénea"), asociamos un polinomio y encontramos sus raíces. Estas raíces determinan "funciones exponenciales" que resuelven la recurrencia, sus combinaciones lineales también la resuelven. Los primeros r valores sirven para encontrar las constantes que multiplican a cada "función exponencial" y así encontrar la fórmula general de la sucesión.

Ese es el "resumen de la película". Cuando tenga un poco de tiempo libre, i.e. fin de mes (acepto recordatorios via MP) les explicaré todos los detalles.

Este tema está explicado en alguna revista Eureka! (revista disponible en papel y en Internet, idioma: portugués).

Para concluir, un par de comentarios "avanzados" (si Ud. no ha comenzado un curso de Ecuaciones Diferenciales (Ordinarias) o de Algebra Lineal en la universidad, no necesita leer estos comentarios. Si los lee y no entiende, no se preocupe):En ecuaciones diferenciales ordinarias, este método recuerda la resolución de "problemas de valores iniciales" con características similares.
En Algebra Lineal, existe una manera de abordar este problema (relaciones de recurrencia homogéneas lineales con coeficientes constantes + condiciones iniciales), usando matrices, diagonalización y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.