Prueba de Clasificación, Nivel Mayor (2008)

jumbito

20ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS

Prueba de Clasificación, Nivel Mayor

Primera Prueba

Problema 1. Se tienen 680 naranjas apiladas en una pirámide triangular. ¿Cuantas naranjas hay en la base de la pirámide?

Problema 2. En cada lado de un cuadrado de lado n se marcan n-1 puntos de modo de subdividir cada lado en n partes iguales, y se unen como en la figura. ¿Cual es el área de la región achurada?

Problema 3. El conjunto \mathbb{Z}^2 es dividido en n partes (disjuntas) y no vacías A_1 ,...,A_n que verifican la siguiente propiedad: si a y b pertenecen a A_i entonces su suma a+b pertenece al mismo conjunto A_i. Determine los posibles valores del entero positivo n.

Observacion: recuerde que la suma de a = \left( {m,n} \right) \in \mathbb{Z}^2 y b = \left( {m',n'} \right) \in \mathbb{Z}^2 es definida como \left( {m + m',n + n'} \right)

Segunda Prueba

Problema 4. Se definen las sucesiones x_n, y_n mediante las siguientes reglas x_0 = 2, x_1 = 5, x_{n + 1} = x_n + 2x_{n - 1}, y_0 = 3, y_1 = 4, y_{n + 1} = y_n + 2y_{n - 1}. Pruebe que los conjuntos \left\{ {x_n \geqslant 0} \right\} y \left\{ {y_n \geqslant 0} \right\} son disjuntos.

Problema 5. Se tienen dos circunferencias C_1 y C_2 tangentes (externamente) entre sí y tangentes a una recta L (por el mismo lado). Desde el punto P de mayor altura (respecto a L) en C_1 se traza la tangente "superior" PQ a C_2: vea la figura. Pruebe que la longitud de PQ es igual al diametro de C_1

Problema 6. En cada casilla de un tablero n \times n se tiene una ampolleta. Ademas, se cuenta con 2n interruptores. Para cada fila existe un interruptor que, al ser presionado, cambia el estado de las ampolletas de dicha fila (las que estaban encendidas se apagan, y las que están apagadas se encienden). Para cada columna se cuenta también con un interruptor que cambia el estado de las ampolletas en ella. Usando estos interruptores, ¿es siempre posible llegar, a partir de cualquier estado inicial, a un estado en el cual el numero de ampolletas encendidas en cada fila o columna es menor o igual al de ampolletas apagadas en dicha fila o columna?

jorgeston

Problema 4. Se definen las sucesiones x_n, y_n mediante las siguientes reglas
x_0 = 2,
x_1 = 5,
x_{n + 1} = x_n + 2x_{n - 1},
y_0 = 3,
y_1 = 4,
y_{n + 1} = y_n + 2y_{n - 1}.

Pruebe que los conjuntos \left\{ {x_n \geqslant 0} \right\} y \left\{ {y_n \geqslant 0} \right\} son disjuntos.

Mi respuesta quizas les parecerá flaite, pero igual le doy:

Observemos que (Aplicando definción y reordenando en cada paso) :

x_i=x_{i-1}+2x_{i-2}=3x_{i-2}+2x_{i-3}=5x_{i-3}+6x_{i-4}=\ldots
=\ldots=11x_{i-4}+10x_{i-5}=21x_{i-5}+22x_{i-6}=\ldots

Entonces se induce que ( y esta es la parte que es flaite, el valor especifico del k me dio lata hacerla y completarla rigurosamente):

Para i par, se tiene que x_{i}=(2k-1)x_{1}+2kx_0 y para i impar, x_{i}=(2k+1)x_{1}+2kx_{0}, para algun natural k ( por determinar, pero de todas maneras no importa mucho su valor, pues es la deduccion que viene la que vale)

Puesto que las definiciones de y_i y x_i son equivalentes, se tiene que para i\geq 2 :

x_i=5(2k-1)+4k , esto dice que siempre es un numero impar, y que que y_i=4(2k-1)+3(2k), esto dice que siempre es un numero par, luego los conjuntos \{x_i \geq 0\} y \{y_i\geq 0\} son disjuntos.

salu2

PD: oh que raro..se vee remal el latex 🙁

impure

jorgeston eso qe hiciste igual es lo qe nos enseño el pasten en la escuela de verano de encontrar la formula general de una recurrencia con una ecuacion y una combinacion lineal de sus soluciones... nose como se llama eso xd

s.e.puelmamoya

Dado que Jorgeston calificó su solución como "posiblemente flayte", voy a explicar los puntos clave de la solución correcta. x_n\ge6,y_n\geq6, para cada n>2
x_{n+1}-x_n y y_{n+1}-y_n son pares, para cada n>1Como x_1 es par e y_1 es impar, entonces todos los elementos del conjunto \{x_n\ge1\} son impares y todos los elementos del conjunto \{y_n\ge1\} son pares. Por lo tanto estos conjuntos son disjuntos y ninguno contiene a 2 y 3.

Con respecto al comentario de iMPuRe: seguramente estás hablando de relaciones de recurrencia homogéneas lineales con coeficientes constantes (estoy "90% seguro" del nombre), tal vez se los haya comentado a ustedes en algún entrenamiento...

...tienes una relación de recurrencia, en que a_n es una combinación lineal (de ahí los términos "lineal" y "coeficientes constantes") de los términos a_{n-1},a_{n-2},\ldots,a_{n-r}. Un buen ejemplo es la recurrencia en la sucesión de Fibonacci:

a_n=a_{n-1}+a_{n-2}

La sucesión queda bien definida con esta recurrencia y los primeros r valores

Para resolver, comenzamos con "llevar todo al lado izquierdo de la igualdad" (de ahí el término "homogénea"), asociamos un polinomio y encontramos sus raíces. Estas raíces determinan "funciones exponenciales" que resuelven la recurrencia, sus combinaciones lineales también la resuelven. Los primeros r valores sirven para encontrar las constantes que multiplican a cada "función exponencial" y así encontrar la fórmula general de la sucesión.

Ese es el "resumen de la película". Cuando tenga un poco de tiempo libre, i.e. fin de mes (acepto recordatorios via MP) les explicaré todos los detalles.

Este tema está explicado en alguna revista Eureka! (revista disponible en papel y en Internet, idioma: portugués).

Para concluir, un par de comentarios "avanzados" (si Ud. no ha comenzado un curso de Ecuaciones Diferenciales (Ordinarias) o de Algebra Lineal en la universidad, no necesita leer estos comentarios. Si los lee y no entiende, no se preocupe):En ecuaciones diferenciales ordinarias, este método recuerda la resolución de "problemas de valores iniciales" con características similares.
En Algebra Lineal, existe una manera de abordar este problema (relaciones de recurrencia homogéneas lineales con coeficientes constantes + condiciones iniciales), usando matrices, diagonalización y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

jorgeston

Dado que Jorgeston calificó su solución como "posiblemente flayte", voy a explicar los puntos clave de la solución correcta. x_n\ge6,y_n\ge6, para cada n>2
x_{n+1}-x_n y y_{n+1}-y_n son pares, para cada n>1Como x_1 es par e y_1 es impar, entonces todos los elementos del conjunto \{x_n\ge1\} son impares y todos los elementos del conjunto \{y_n\ge1\} son pares. Por lo tanto estos conjuntos son disjuntos y ninguno contiene a 2 y 3.

Gracias por la explicación Sebastian

--
Consideré mi explicación posiblemente "flaite" porque me faltan herramientas de estudio olimpicas, no entreno en esto. Soy alumno de la universidad que aprende esa matemática pero gusta mucho d elo olimpico porque es lindo resolver problemas asi pero no me dedico a estudiarlo quizas por tiempo .

Y a veces me da cosa porque no me manejo mucho con la "rigurosidad olimpica" porque lo que posteo es lo que estoy viendo. No se cómo es mi calificación en esto, me gustaría que calificaras mi respuesta si gustas de hacerlo. Así tendría una opinión buena y objetiva, (pues me parece que sabes mucho, además estas en magister) en que nivel voy en lo "olímpico".
--

Con respecto al comentario de iMPuRe: seguramente estás hablando de relaciones de recurrencia homogéneas lineales con coeficientes constantes (estoy "90% seguro" del nombre)

El nombre está bien , yo también las conocía/recordaba con ese nombre.

En todo busqué en google para asegurarme y si, efectivamente es asi

Buster

PD: oh que raro..se vee remal el latex :(

Eso es porque por alguna extraña razón el ImageMagick transforma mal los EPS a GIF. Aunque en otros foros como MathLinks usan GIF y les resulta bien, no pude averiguar como lo hicieron (de hecho pensé que en el servidor estaba por defecto pustos los parámetros del ImageMagick para bajar la calidad y así ahorrar espacio, pero instalé un servidor en mi casa con un PC viejo y tenía el mismo problema).

Así que ahora el formato de las imágenes es PNG, que se renderizan sin problemas (el único "problema" sería para los que usan IE 6, que no toma la transparencia de los PNG).

jorgeston

Problema 2. En cada lado de un cuadrado de lado n se marcan n-1 puntos de modo de subdividir cada lado en n partes iguales, y se unen como en la figura. ¿Cual es el área de la región achurada?

Fijemonos en el "subcuadrado ladeado" de lado n-1 . Ese subcuadrado tiene area (n-1)^2, y se compone de (n-1)^2 cudrados de la unidad de area desconocida.

Por lo tanto, cada unidad de area desconocida tiene un area 1

s.e.puelmamoya

Fijemonos en el "subcuadrado ladeado" de lado n-1 . Ese subcuadrado tiene area (n-1)^2, y se compone de (n-1)^2 cudrados de la unidad de area desconocida.

Por lo tanto, cada unidad de area desconocida tiene un area 1

Te estás confundiendo con las longitudes de los segmentos.

El cuadrado mayor tiene lado n y cada uno de sus lados es dividido en n segmentos de longitud 1. Por lo tanto, el lado del cuadrado gris mide "un poco menos" de 1. Si llamamos x a esta longitud, el cuadrado ladeado del que hablas inicialmente tiene área (n-1)^2x^2

Por supuesto, seguimos esperando una solución para el problema.