chaparrón
Primero Torneo de Matemáticas
El Número de Oro 2008
Nivel Mayor
30 de Agosto 2008
Problema 1
Tenemos tres máquinas transformadores de números. Nosotros ingresamos el par (a_1,a_2), y la máquina devuelve (b_1,b_2). Esta transformación la denotamos por (a_1,a_2) \to (b_1,b_2).
A) La primera puede realizar dos transformaciones, (a,b)\to (a-1,b-1) o bien (a,b)\to (a+13,b+5). Si el primer par ingresado es (25,32), ¿Es posible tras una serie de transformaciones obtener el par (82,98)?
B) La segunda realiza (a,b) \to (2a,2b). Si el primer par ingresado es (34,60),¿Es posible tras una serie de transformaciones obtener el par (2000,2008)?
C) La tercera puede realizar dos transformaciones, (a,b)\to (a-2,b+2) o bien (a,b) \to (2a-b+1,2b-1-a). Si el primer par ingresado es (145,220),¿Es posible tras una serie de transformaciones llegar al par (363,498)?
Problema 2
Se define por recurrencia la susesión a_n,n \in Nde forma que:
a_0=6
a_1=7
a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n
Encuentre todos los valores de npara los cuales n^2=a_n
Problema 3
Los amigos de Luis quisieron jugarle una broma, y en su tarea de geometría borraron la mayor parte de un triángulo, dejando dos ángulos y dibujándole un trazo equivalente a la suma de los 3 lados del triángulo. Ayude a Luis a poder entregar su tarea explicando como se puede dibujar nuevamente el triángulo, a partir de las medidas dejadas, utilizando solo regla y compás. Para colmo la regla de Luis no tiene medidas, aunque es más larga que la suma de los 3 lados.
jumbito
P1
a) Cualquiera sea la transformacion, lo que se hace es sumar y restarles impares a los numeros a,b de (a, b), osea, cambiarles la paridad. Como tenemos una pareja de la forma (I,P) entonces no es posible llegar a uno de la forma (P,P), como lo es (82,98).
b) Notemos que 60 es divisible por 5, luego, 2\cdot 60, 4\cdot 60,... tambien, asi que b siempre sera divisible por 5 (partimos del 60). Como 2008 no es divisible por 5, no es posible llegar a la pareja mencionada.
c) "Sumaremos" los numeros que meteremos a la maquina. Para ver un caso general, tomemos el par (x,y), la suma es x+y. Si aplicamos la primera transformacion nos arroja el numero (x-2,y+2) de suma x+y. Si aplicamos la segunda transformacion, la suma es 2x-x-y+2y+1-1=x+y, de esta manera la suma de los numeros separados por la coma (,) es constante. Inicialmente esta suma es 145+220=365, por ende no es posible llegar al par (363,498) (porque su suma es 861).
jumbito
P2
Respuesta: ninguno.
Nosotros sabemos que todo n entero positivo cumple con que n\equiv 0,1,4\pmod{8}. Calcularemos unos pocos terminos primero:
a_0=6 \equiv 6(8)
a_1=7\equiv 7(8)
a_2=9\equiv 1(8)
a_3=13\equiv 5(8)
a_4=21\equiv 5(8)
...
Asi veamos que los terminos que siguen tambien dejan resto 5 modulo 8 (esto por la recurrencia, el termino que sigue tendra resto 3\cdot 5-2\cdot 5=5 modulo 8 ). Pero teniamos que para todo n, n\equiv 0,1,4\pmod{8}, entonces desde a_3 no hay cuadrados perfectos en la sucesion. Basta ver por debajo de a_3 para concluir.
impure
Ambas soluciones perfectas, porfavor los admins arreglar el latex
impure
Como acotación, notemos que a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n tiene como polinomio caracteristico a x^2-3x+2=0 que tiene raices 2 y 1. Considerando a_0=A \cdot 2^0+B \cdot 1^0=A+B=6 y a_1=A \cdot 2^1+B \cdot 1^1=2A+B=7, entonces A=1 y B=5, portanto a_n=2^n+5 y es claro por inducción que n^2<2^n+5.
