Los vértices de un hexágono regular de lado [tex]a[/tex] son los centros de circunferencias cuyo radio es [tex]\frac{a}{\sqrt{2}}[/tex]. Hallar el área de la parte del hexágono que queda fuera de estas circunferencias.

un mes más tarde

Una Solución:

El área pedida [tex]A[/tex] es [tex]6[/tex] veces el área IMGJ de la figura.

Tenemos:

[tex](IMGJ) = (\triangle IEF) - (ELM) - (FJK) + (KLG)[/tex]

donde:

[tex](\triangle IEF) =[/tex]

[tex]\frac{a²}{4}[/tex]

[tex]\sqrt{3}[/tex]

[tex](ELM) = (FJK) =[/tex]

[tex]\frac{\pi}{3}\frac{a²}{2}[/tex]

y

[tex](KLG) = \frac{(FGH) - (\triangle FGH}{2} =[/tex]

[tex]\frac{\pi}{2}\frac{a²}{2} - \frac{a²}{4} = \frac{a²}{4}[/tex]

[tex](\pi - 1)[/tex]

entonces

[tex](IMGJ) =[/tex]

[tex]\frac{a²}{4}[/tex]

[tex]\sqrt{3} -[/tex]

[tex]\frac{a²\pi}{3} + \frac{a²}{4}[/tex]

[tex](\pi - 1) =[/tex]

[tex]\frac{a²}{12}[/tex]

[tex](3\sqrt{3} - \pi - 3)[/tex]

Por lo tanto:

[tex]A =[/tex]

[tex]\frac{a²}{2}[/tex]

[tex](3\sqrt{3} - \pi - 3)[/tex]

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