P1 Tenemos tres máquinas transformadoras de números. Nosotros ingresamos el par [tex](a_1,a_2)[/tex], y la máquina devuelve [tex](b_1,b_2)[/tex]. Esta transformación la denotamos por [tex](a_1,a_2)\rightarrow (b_1,b_2)[/tex].
a) La primera puede realizar dos transformaciones, [tex](a,b)\rightarrow (a-1,b-1)[/tex] o bien [tex](a,b)\rightarrow (a+13,b+5)[/tex]. Si el primer par ingresado es [tex](5,2)[/tex], ¿es posible tras una serie de transformaciones obtener el par [tex](20,22)[/tex]?
b) La segunda realiza [tex](a,b)\rightarrow (a-1,b-1)[/tex] o bien [tex](a,b)\rightarrow(2a,2b)[/tex]. Si el primer par ingresado es [tex](15,10)[/tex], ¿es posible tras una serie de tranformaciones obtener el par [tex](27,23)[/tex] ?
c) La tercera puede realizar dos transformaciones, [tex](a,b)\rightarrow (a-2,b+2)[/tex] o bien [tex](a,b)\rightarrow (2a-b+1, 2b-1-a)[/tex]. Si el primer par ingresado es [tex](5,8)[/tex], ¿es posible tras una serie de transformaciones llegar al par [tex](13,17)[/tex]?
P2. Se tiene un cubo de [tex]4\times4\times4[/tex], de modo que dividimos cada cara de el en [tex]16[/tex] cuadraditos iguales. Los números del [tex]1[/tex] al [tex]96[/tex] están escritos en estos cuadritos. La operación consiste en tomar dos cuadritos que tengan un vértice en común, encontrar la suma de los números escritos en ellos, y reemplazar esta por el número escrito anteriormente en alguno de estos dos, y el otro dejarlo en blanco. Se realiza este proceso hasta que solo queda un número. Pruebe que no importa el orden en que se realizan las operaciones, el número que queda al final siempre es el mismo.
P3 Los amigos de Luis quisieron jugarle una broma, y en su tarea de geometría borraron la mayor parte de un triángulo, dejando dibujados trazos equivalentes a dos lados que miden [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex], con [tex]b>a[/tex], y la altura de medida [tex]h[/tex] que cae sobre [tex]b[/tex], tal que [tex]h
Ayude a Luis a poder entregar su tarea explicando como se puede dibujar nuevamente el triángulo, a partir de las medidas dejadas, utilizando sólo regla y compás.
Para colmo la regla de Luis no tiene medidas, pero es más larga que los lados y la altura.
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