el lema:
[hide]Para un desarrollo más práctico, hagamos [tex]AX=a[/tex], [tex]CZ=b[/tex], [tex]BY=c[/tex], [tex]AZ=m[/tex], [tex]BZ=n[/tex].
Por thales en [tex]\triangle{ABY}[/tex], se tiene que: [tex]\dfrac{m}{b}=\dfrac{m+n}{c}\Longrightarrow b=\dfrac{cm}{m+n}(1)[/tex]
Por thales en [tex]\triangle{ABX}[/tex], se tiene que: [tex]\dfrac{n}{b}=\dfrac{m+n}{a}\Longrightarrow b=\dfrac{an}{m+n}(2)[/tex]
De (1) y (2) se sigue que [tex]an=cm(3)[/tex] , con esto último trabajaremos:
[tex]an=cm\Longrightarrow a^{2}n^{2}=c^{2}m^{2}[/tex]
[tex]a^{2}n^{2}+c^{2}mn=c^{2}m^{2}+c^{2}mn[/tex]
[tex]n(a^{2}n+c^{2}m)=c^{2}m(m+n)[/tex]
[tex]\dfrac{a^{2}n+c^{2}m}{m+n}=\dfrac{c^{2}m}{n}[/tex]
[tex]\dfrac{a^{2}n}{m+n}+\dfrac{c^{2}m}{m+n}=\dfrac{c^{2}m}{n}[/tex]
[tex]a\left(\dfrac{an}{m+n}\right)+c\left(\dfrac{cm}{m+n}\right)=c\left(\dfrac{cm}{n}\right)[/tex]
Usando (1), (2) y (3) en esto último, se reemplaza:
[tex]ab+bc=ac\Longrightarrow b(a+c)=ac\Longrightarrow \dfrac{a+c}{ac}=\dfrac{1}{b}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{b}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{AX}+\dfrac{1}{BY}=\dfrac{1}{CZ}\blacksquare[/tex][/hide]
dps intento el propuesto
