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¿Para qué valores de [tex]x[/tex] se verifica:

[tex]\frac{4x^2}{(1 - \sqrt{1 + 2x})^2} < 2x + 9[/tex] ?

SantiagoMundaca

Asumamos que x es un valor valido para la desigualdad. Podemos facilmente ver que si x = 0 estariamos dividiendo en 0, lo cual es indefinido, por lo que x \neq 0 . Ahora notemos que \frac{4x^2}{(1 - \sqrt{1 + 2x})^2} se puede expresar de la forma (\frac{2x}{1 - \sqrt{1 + 2x}})^2. Desde aqui tomemos el interior del cuadrado y multipliquemoslo por \frac{1 + \sqrt{1 + 2x}}{1 + \sqrt{1 + 2x}}, lo cual no cambia nada ya que es equivalente a 1. Esto lo hago para que en el denominador surga una diferencia de cuadrados, asi eliminando la raiz cuadrada. Ahora muestro el paso a paso donde voy reduciendo la desigualdad.
(\frac{2x}{1 - \sqrt{1 + 2x}} \cdot 1)^2 < 2x + 9
(\frac{2x}{1 - \sqrt{1 + 2x}} \cdot \frac{1 + \sqrt{1 + 2x}}{1 + \sqrt{1 + 2x}})^2 < 2x + 9
(\frac{2x(1 + \sqrt{1 + 2x})}{1 - (1 + 2x)})^2 < 2x + 9
(\frac{2x(1 + \sqrt{1 + 2x})}{-2x})^2 < 2x + 9
[-1 \cdot (1 + \sqrt{1 + 2x})]^2 < 2x + 9
(-1)^2 \cdot (1 + \sqrt{1 + 2x})^2 < 2x + 9
1 + 2\sqrt{1 + 2x} + 1 + 2x < 2x + 9
2\sqrt{1 + 2x} < 7
De aqui podemos ver que si x < \frac{-1}{2} nos daria un numero imaginario, con lo que no se cumple la desigualdad, por lo que x \geq \frac{-1}{2}. Ahora sigamos con la desigualdad tomando el cuadrado de ambos lados
(2\sqrt{1 + 2x})^2 < 7^2
4 \cdot (1 + 2x) < 49
4 + 8x < 49
8x < 45
x < \frac{45}{8}
Con esto ya tenemos el rango en el que x puede estar, recordando x \neq 0 , el cual seria:
\frac{-1}{2} \leq x < \frac{45}{8}