aimiojito789
a) Se tomará en cuenta que f_0 = 0 y que f_1=f_2 = 1, con esto en mente se puede utilizar inducción:
1.- p(0): f_{2\cdot 0 + 1} = f^2_{0+1} + f^2_0
f_1=f^2_1
2.- p(k): f_{2k+1} = f^2_{k+1} + f^2_k
3.- p(k+1): f_{2k+3} = f^2_{k+2} + f^2_{k+1}
f_{2k+1}+f_{2k+2}= (f_k+f_{k+1})^2+f^2_{k+1}
f_{2k+1}+f_{2k+2}=f^2_k+f_{k+1}\cdot2\cdot f_k+f^2_{k+1}+f^2_{k+1}
f_{2k+1}+f_{2k+2}=(f^2_k+f^2_{k+1})+f_{k+1}\cdot (f_k\cdot 2 + f_{k+1})
4.- Como dentro de la sucesión de Fibonacci se cumple que f_{2k+2}=f_{k+1}\cdot (f_k\cdot 2 + f_{k+1}). Q.E.D (Queda entonces demostrado) que f_{2n+1}=f^2_{n+1}+f^2_n,\space \space \forall n \geq 0
b) Se tomará en cuenta que f_0 = 0 y que f_1=f_2 = 1, con esto en mente se puede utilizar inducción:
Nota adicional: f_k= f_{k-2}+f_{k-1}=f_{k+2}-f_{k+1}, entonces f_{-1}=f_1-f_0=1-0=1
1.- p(0): f_{3\cdot 0} = f^3_1 + f^3_0-f_{0-1}
0= 1+0-1
2.- p(k): f_{3k}= f^3_{k+1}+f^3_k-f^3_{k-1}
3.- p(k+1): f_{3k+3}=f^3_{k+2}+f^3_{k+1}-f^3_k
f_{3k+1}+f_{3k+2}=(f_k+f_{k+1})^3+f^3_{k+1}-(f_{k-2}+f_{k-1})^3
f_{3k+1}+f_{3k+1}+f_{3k}=f^3_k+f_{k+1}\cdot f^2_k\cdot 3+f^2_{k+1}\cdot f_k\cdot 3+ f^3_{k+1}+f^3_{k+1}-(f_{k-2}+f_{k-1})^3
2\cdot f_{3k+1}+f_{3k}= f^3_{k+1}+f^3_k+f_{k+1}\cdot f_k\cdot 3(f_k+f_{k+1})+f^3_{k+1}-(f^3_{k-2}+3\cdot f_{k-2}\cdot f_{k-1} (f_{k-2}+f_{k-1})+f^3_{k-1})
2\cdot f_{3k+1}+f_{3k}= (f^3_{k+1}+f^3_k-f^3_{k-1})+f_{k+1}\cdot f_k\cdot 3(f_k+f_{k+1})+f^3_{k+1}-f^3_{k-2}-3\cdot f_{k-2}\cdot f_{k-1} (f_{k-2}+f_{k-1})
2\cdot f_{3k+1}+f_{3k}= (f^3_{k+1}+f^3_k-f^3_{k-1})+f_{k+1}(f_k\cdot 3 \cdot f_{k+2} +f^2_{k+1})-(f_{k-2}(f^2_{k-2}+f_{k-1}\cdot 3 \cdot f_k)
4.- Como dentro de la sucesión de Fibonacci se cumple que
2\cdot f_{3k+1}=f_{k+1}(f_k\cdot 3 \cdot f_{k+2} +f^2_{k+1})-(f^2_{k-2}(f^2_{k-2}+f_{k-1}\cdot 3 \cdot f_k) Q.E.D (Queda entonces demostrado) que
f_{3n} = f^3_{n + 1} + f^3_n - f^3_{n - 1}, \forall \space n \geq 0
Nota final: En las líneas finales de ambos pasos inductivos (3.- p(k+1)") se pueden notar ciertos terminos separados de los otros por un paréntesis que no es algebraicamente necesario, esto representa la relación entre p(k) y p(k+1) siendo que los términos que están dentro del paréntesis son parte de p(k) y los que están fuera son lo que sobra.
