Sean [tex]\frac{a}{b}[/tex] y [tex]\frac{c}{d}[/tex] las fracciones irreductibles. Luego, se sabe que [tex]mcd(a,b) = 1[/tex] y [tex]mcd(c,d) = 1[/tex]
Al ser [tex]\frac{ad + bc}{bd}[/tex] entera, se tiene que [tex]bd|ad+bc[/tex]. De aqui se puede concluir que:
1) [tex]b|ad + bc[/tex]. Como [tex]b|bc[/tex] y [tex]b|ad[/tex]. Pero [tex]mcd(a,b) = 1[/tex], por lo que [tex]b|d[/tex].
2) [tex]d|ad + bc[/tex]. Como [tex]b|ad[/tex] y [tex]d|bcad[/tex]. Pero [tex]mcd(c,d) = 1[/tex], por lo que [tex]d|b[/tex].
Como [tex]b|d[/tex] y [tex]d|b[/tex], se tiene que [tex]|b| = |d|[/tex], probando lo pedido
