Mostrar que se cumple:
[tex]\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1\cdot 2}+\sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3\cdot 4}+\sqrt[3]{4^2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt[3]{999^2}+\sqrt[3]{999\cdot 1000}+\sqrt[3]{1000^2}} > \frac{9}{2}[/tex]
Por demostrar que:
[tex]\sum\limits_{i=1}^{500}\frac{1}{\sqrt[3]{(2i-1)^2} + \sqrt[3]{(2i-1)\cdot 2i} + \sqrt[3]{(2i)^2}} > \frac{9}{2}[/tex]
Sabemos que: [tex]a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)[/tex]
Si [tex]a = \sqrt[3]{k+1}\qquad[/tex] y [tex]\qquad b = \sqrt[3]{k}[/tex], entonces
[tex]k + 1 - k = 1 = (\sqrt[3]{k + 1} - \sqrt[3]{k}) (\sqrt[3]{(k + 1)^2} + \sqrt[3]{(k+1)k} + \sqrt[3]{k^2})[/tex], de donde
[tex]\frac{1}{ (\sqrt[3]{(k + 1)^2} + \sqrt[3]{(k+1)k} + \sqrt[3]{k^2})} = \sqrt[3]{k + 1} - \sqrt[3]{k}[/tex]
hemos reducido el enunciado a:
[tex]I = \sum\limits_{i=1}^{500}(\sqrt[3]{2i} - \sqrt[3]{2i - 1})[/tex]
Observemos que I es la suma de los términos impares de
[tex]S = \sum\limits_{j=1}^{999}(\sqrt[3]{j + 1} - \sqrt[3]{j}) = \sqrt[3]{1000} - 1 = 9[/tex]
Obviamente si [tex]P[/tex] es la suma de los términos pares de [tex]S[/tex], entonces
[tex]I + P = 9[/tex]
Basta entonces probar que [tex]I > P[/tex] porque tendríamos que [tex]9 = I + P < 2I[/tex], de donde
[tex]I > \frac{9}{2}[/tex].
