Irreductible

impure

Pruebe que la fraccion \frac{21n+4}{14n+3} es irreductible para todo n natural.

Fuente: IMO 1959 P1

sí-síelresidente

Bastaria que probar que los dos numeros son coprimos,
Ahora por definicion dos numeros son a, b son coprimos si y solo si existen entero x, y tales que
ax+by=1

Ahora en la expresión

(21n+4)x+(14n+3)y=1

Vemos que 21=3\cdot 7 y 14=2\cdot 7
Para eliminar los n, basta que x=-2 y y=3 si reemplazamos tenemos

-42n-8+42n+9=1

Entonces hemos encontrado x e y que cumplen con la definicion de numeros coprimos, por tanto 21n+4 14n+3 son primos relativos, lo que implica que la fraccion sea irreductible.

jumbito

>Ahora por definicion dos numeros son a, b son coprimos si y solo si existen entero x, y tales que
ax+by=1

Algo infimo: no me parece que sea una definicion, es algo que tiene que ver con la identidad de Bezout que asegura que para a,b\in\mathbb{Z}, existen u,v para los cuales au+bv=MCD(a,b), y como a,b son coprimos como pusiste, entonces au+bv=1.
Solo eso

impure

a resueltos porfa y mover a nivel mayor