Buster
Problema 1.- Demostrar que las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares entre sí, si y solo sí la suma de los cuadrados de un par de lados opuestos es igual a la del otro par.
Problema 2.- Se tiene el polinomio a coeficientes reales
p(x) =a_{2008}x^{2008}+a_{2007}x^{2007}+\ldots+a_1x+a_0
en donde se sabe que sus coeficientes satisfacen que
{a_i}+a_{i+1}=a_{i+2} , i \in \{0,1,2....,2006\}
Si p(1)=2008 y p(-1)=0, calcule a_{2008}-a_0.
Problema 3.- Si un cuadrado es dibujado externamente sobre cada lado de un paralelógramo. Pruebe que:
(a) El cuadrilátero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado.
(b) Las diagonales del nuevo cuadrado formado son concurrentes con las diagonales del paralelógramo original.
elgik
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(a) Es fácil notar que los cuadrados construidos en los lados opuestos del paralelógramo son congruéntes, por lo tanto, la distancia a sus centros (que es la mitad de la diagonal) es la misma también, de lo que se desprende que AO_1=O_1B=CO_3=O_3D, de la misma forma BO_2=O_2C=DO_4=O_4A. Ahora bien, como ABCD es paralelógramo, sabemos que \angle{CDA} + \angle{DAB} = \angle{ABC} + \angle{BCD}= 180°, de esto, al notar los ángulos completos en A, B, C y D, podemos decir que \angle{O_1BO_2} = \angle{O_2CO_3} = \angle{O_3DO_4} = \angle{O_1AO_4}=90° + \angle{ABC} = 90° + \angle{CDA}, luego por LAL, los triángulos O_1AO_4 , O_1BO_2 , O_3CO_2 , O_3DO_4 son congruentes, por lo que O_1O_2=O_2O_3=O_3O_4=O_4O_1. Luego, basta notar la congruencia de los ángulos para ver que los ángulos del cuadrilátero O_1O_2O_3O_4 son rectos.
(b) Como O_1O_2O_3O_4 es cuadrado, \overline{O_1O_2} es paralelo con \overline{O_3O_4}, además por la congruencia de los ángulos, en los triángulos de lados opuestos, se desprende que sus lados homólogos son paralelos, por lo que estos son homotéticos en la razón -1, por lo tantoc \overline{O_4O_2}, \overline{DB}, \overline{O_3O_1} son concurrentes en el centro de homotecia, el cual es el punto medio de estos mismos segmentos, luego por esta misma razón \overline{CA} concurre también en el centro de homotecia.
Saludos
