P1. Se tiene un tablero de [tex]8\times 8[/tex] pintado como en el ajedrez, en el que se puede realizar el siguiente cambio: Se escoge un rectángulo mayor a [tex]1 \times 1[/tex] y cuyos lados sean ambos pares o ambos impares, y se invierten sus colores; es decir, en el rectángulo escogido las casillas blancas se convierten en negras y las negras en blancas.
¿Es posible lograr que el tablero completo quede blanco después de efectuar cambios permitidos tantas veces como sea necesario?
Observaciones: Un cuadrado cae en la categoría de rectángulo; y en el ajedrez la casilla inferior derecha es blanca.
P2. Pruebe que no existe un triángulo rectángulo con todos sus lados enteros y uno de sus catetos igual a [tex]2[/tex].
P3. Se anotan los números impares partiendo con el [tex]3[/tex] hasta llegar al [tex]19[/tex], cada uno en una ficha, y se depositan sobre una mesa.
Dos jugadores A y B toman alternadamente una ficha para ellos. Cuando se acaban las fichas en la mesa, cada uno calcula el producto de los números de sus fichas y al resultado le suma [tex]1[/tex].
Gana el que haya obtenido un valor que sea divisible por [tex]4[/tex].
Si A comienza eligiendo en el juego, ¿hay alguna estrategia con la que pueda asegurar que ganará?
