Sol P1. El problema es equivalente a probar que la ecuación:
[center][tex]x^2+p^2=z^2 \quad (\ast)[/tex][/center]
tiene solución única con [tex]x,z\in\mathbb{N}[/tex], pues si existe un triángulo rectángulo de catetos [tex]x[/tex] y [tex]p[/tex] e hipotenusa [tex]z[/tex], entonces [tex]x[/tex] y [tex]z[/tex] satisfacen la ecuación [tex](\ast)[/tex], recíprocamente, si [tex]x,z\in\mathbb{N}[/tex] satisfacen [tex](\ast)[/tex], entonces:
[center][tex]\max\{x,p\}<z=\sqrt{x^2+p^2}<\sqrt{(x+p)^2}=x+p[/tex][/center]
por lo que [tex]x,p,z[/tex] son los lados de un triángulo, pues verifican las desigualdades triangulares, y dicho triángulo es rectángulo pues verifica el teorema de pitágoras.
Pero si [tex]x,z[/tex] verifican [tex](\ast)[/tex], entonces:
[center][tex]p^2=z^2-x^2=(z+x)(z-x)[/tex][/center]
como [tex]z-x<z+x[/tex] y [tex]p^2[/tex] sólo se puede descomponer en dos factores enteros positivos como [tex]p\cdot p[/tex] y [tex]p^2\cdot 1[/tex], concluímos que el único caso posible es:
[center][tex]z+x=p^2,\quad z-x=1[/tex][/center]
De donde obtenemos que la única solución al sistema es:[center][tex]z=\frac{p^2+1}{2},\quad x=\frac{p^2-1}{2}.[/tex][/center]
Que son números naturales pues [tex]p[/tex] es impar.
Sol P2. Si nos fijamos, en la mesa hay [tex]1009[/tex] números de la forma [tex]4k + 3[/tex] y [tex]1008[/tex] números de la forma [tex]4k + 1[/tex]. El producto de dos números de la forma [tex]4k +1[/tex] nos da un numero de la forma [tex]4k +1[/tex]; el producto de dos números de la forma [tex]4k + 3[/tex] nos da un número de la forma [tex]4k + 1[/tex] y el producto de un número de la forma [tex]4k + 3[/tex] y un número de la forma [tex]4k + 1[/tex] nos da un número de la forma [tex]4k + 3[/tex].
El jugador [tex]A[/tex] elige un número de la forma [tex]4k + 3[/tex] y en las jugadas siguientes repite lo que haga [tex]B[/tex], lo que hace que [tex]A[/tex] tenga al final del juego, [tex]505[/tex] números de la forma [tex]4k + 3[/tex] y [tex]B[/tex] tenga [tex]504[/tex] de estos números. Por lo tanto el producto de los números que tienen en su mano es para [tex]A[/tex] de la forma [tex]4k + 3[/tex] en cambio [tex]B[/tex] tendrá un producto de la forma [tex]4k + 1[/tex], entonces el resultado final de [tex]A[/tex] será de la forma [tex]4k[/tex] y el de [tex]B[/tex] será de la forma [tex]4k + 2[/tex].
Entonces [tex]A[/tex] puede asegurar que siempre ganará.
Sol P3.. Es claro que para [tex]n = 2[/tex] es imposible.
Para [tex]n > 2[/tex]:
Si [tex]n[/tex] es impar.
Tomamos los rectángulos de [tex]1\times n[/tex] correspondientes a las filas impares y cambiamos sus colores. De esta manera todas las columnas impares quedan negras, luego tomamos rectángulos de [tex]n\times 1[/tex] correspondientes a las columnas, si tomamos las impares el tablero quedará completo en blanco, si tomamos las pares, el tablero completo quedará negro.
Si [tex]n[/tex] es par.
- Digamos que [tex]n=2^ab[/tex] con [tex]a \ge 1[/tex] y [tex]b[/tex] impar. entonces dividimos el tablero en subtableros de [tex]b\times b[/tex], en cada uno de ellos realizamos el procedimiento para tableros impares.
- Digamos que [tex]n=2^a[/tex] con [tex]a > 2[/tex], entonces dividimos el tablero en subtableros de [tex]4\times 4[/tex]. En cada uno de ellos se realizan las siguientes operaciones:
Se divide en dos rectángulos de [tex]4\times 2[/tex], se toma cada uno de ellos cambiando los colores. Se toma entonces el rectángulo de la [tex]2^a[/tex] y [tex]3^a[/tex] columnas y se hace lo mismo. Se toma el rectángulo de [tex]2\times 4[/tex] correspondiente a la [tex]1^a[/tex] y [tex]2^a[/tex] fila cambiando sus colores; y por último se cambia el rectángulo de [tex]2\times 4[/tex] correspondiente a la [tex]2^a[/tex] y [tex]3^a[/tex] fila, cambiando sus colores, con lo que el tablero completo queda blanco.
