Sol P1. Como el radio es perpendicular a las tangentes, se tiene que ODBF es un cuadrado, de donde AD = x + r y CF = y - r. Además, como las tangentes a una circunferencia por el mismo punto son iguales, se tiene que AE = AD y CE = CF, de donde CE = AE - AC = AD - AC = x + r - z = CF = y - r. Reordenando lo anterior se obtiene r = \frac{z - x + y}{2}.
Basta concluir que z - x + y es siempre par. Para eso consideramos la igualdad del teorema de Pitágoras x^2 + y^2 = z^2 y enumeramos cada caso:
i) x par e y par: entonces z es par y z - x + y también.
ii) x par e y impar: entonces z es impar y z - x + y es par.
iii) x impar e y par: entonces z es impar y z - x + yes par.
iv) x impar e y impar: entonces z es par y z - x + y también.
Sol P2. Sean p, q, r los puntajes asociados a las medallas de oro, plata y bronce respectivamente, y sea n la cantidad de pruebas de la competencia, entonces el puntaje total repartido en la competencia está dado por n(p + q + r). Además en todas las pruebas los medallistas fueron Cristóbal, Aníbal y Zeus, por lo que el puntaje total es 15 + 10+ 8 = 33. Luego:
n(p + q + r) = 33
Como 0 < r < q < p se tiene que p + q + r\geq 6 (pues el mínimo sería si r = 1, q = 2, p = 3). Además n\geq 2, pues al menos hubo competencia de lucha libre y de salto largo. Los únicos números enteros mayores que 1 cuyo producto es 33 son 3 y 11, por lo que forzosamente p + q + r = 11 y n = 3. De aquí se tiene p\le 8 (pues el máximo sería si r = 1, q = 2).
Notemos que p no podría valer 8, pues Aníbal y Cristóbal podrían tener a lo más una medalla de oro cada uno y Zeus no podría tener ninguna (pues no podría tener más medallas), lo cual no es posible, pues debe haber un total de tres medallas de oro.
Tampoco p puede valer 7, ya que si fuese el caso entonces Cristóbal habría obtenido 3 puntos entre las dos pruebas que no eran lucha libre, no podría haber obtenido dos medallas iguales en estas dos pruebas (pues 3 es impar), de donde q + r = 3 y entonces p + q + r = 10, lo cual no es cierto.
Por otra parte, Aníbal obtuvo un puntaje estrictamente menor al que habría obtenido con 3 medallas de oro, es decir:
15 < 3p\Leftrightarrow 5 < p\Leftrightarrow 6\leq p
De donde se sigue que p = 6 y por ende q + r = 5. Como Cristóbal obtuvo 6 puntos por su medalla de oro en lucha libre, luego los otros 4 los obtuvo en las otras dos pruebas; no podrían ser las dos medallas distintas (porque q + r = 5), por lo que obtuvo dos medallas iguales en las otras dos competencias y el puntaje asignado a esa medalla es 2. De aquí se tiene r = 2 y q = 3.
Por último, la única forma de satisfacer los requerimientos es que Aníbal haya obtenido dos medallas de oro y una de plata, Cristóbal haya obtenido dos medallas de bronce y una de oro, y Zeus haya obtenido dos medallas de plata y una de bronce.
Para concluir, notamos que Aníbal debe haber obtenido medalla de plata en lucha libre, pues fue la única prueba en la que no obtuvo medalla de oro, y que entonces la medalla de plata en salto largo pertenece a Zeus, pues él obtuvo el resto de las medallas de plata.
Sol P3. Un conjunto odioso de 4 números es \{2, 3, 4, 6\}. Consideramos el mínimo común múltiplo del conjunto (12); si lo sumamos a cada elemento y además lo agregamos como uno nuevo, obtenemos un conjunto de 5 números \{12, 14, 15, 16, 18\} que también es odioso. De la misma forma obtenemos el conjunto odioso \{5040, 5052, 5054, 5055, 5056, 5058\} de 6 números, lo que concluye el problema.
Para entender por qué sucede razonamos en forma inductiva. Llamemos m el m.c.m. del conjunto original, entonces al agrandarlo se deben satisfacer dos condiciones: que (a + m) - m = a divida a (a + m) + m = a + 2m, y que (a + m) - (b + m) = a - b divida a (a + m) + (b + m) = (a + b) + 2m. Lo primero es cierto pues a divide a m. Para lo segundo, notemos primero que si a - b divide a a + b entonces también divide a (a + b) + (a - b) = 2a; como ya sabemos que (a - b) divide a (a + b) y como 2a divide a 2m, por transitividad a - b divide a (a + b) + 2m.
