elnumerodeoro
Sea f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tal que \forall x \in \mathbb{R}
f(x + 1) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f(x)^2}
Encuentre b > 0 tal que f(x + b) = f(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}
pancracio
Solución
Notar que f(x+1) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f(x)^2} \Rightarrow f(x+1) \geq \frac{1}{2} \ \forall x \in \mathbb{R}. Además, f(x) - f(x)^2 \geq 0 \ \forall x \in \mathbb{R} , ya que si no lo fuera, f(x+1) no estaría bien definida. Luego, trabajando la ecuación principal:
f(x+1) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f(x)^2} \Leftrightarrow f(x+1) - \frac{1}{2} = \sqrt{f(x) - f(x)^2}. Como f(x) \geq \frac{1}{2}, al elevar al cuadrado:
\Leftrightarrow f(x+1)^2 - f(x+1) + \frac{1}{4} = f(x) - f(x)^2 \ \ \ \ \ \mathit{(1)}
Análogamente,
\begin{align*}
f(x+2)^2 - f(x+2) + \frac{1}{4} &= f(x+1) - f(x+1)^2 \\
\Leftrightarrow f(x+1)^2 - f(x+1) + \frac{1}{4} &= f(x+2) - f(x+2)^2 \ \ \ \ \mathit{(2)} \end{align*}
Igualando (1)[/i] y (2), se tiene:
\begin{align*} f(x) - f(x)^2 &= f(x+2) - f(x+2)^2 &/ \sqrt{( \ \ \ )} \\
\Leftrightarrow \sqrt{f(x) - f(x)^2} &= \sqrt{f(x+2) - f(x+2)^2} &/ + \frac{1}{2} \\
\Leftrightarrow \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f(x)^2} &= \frac{1}{2} + \sqrt{f(x+2) - f(x+2)^2} &Usando\ la\ igualdad\ inicial, \\
\Leftrightarrow f(x+1) &= f(x+3)
\end{align*}.
Como x es arbitrario, b=2 cumple lo pedido.
nicolasjofreu
Tenemos la ecuación principal:
(1) f(x+1) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f(x)^2}
Primero que todo, reemplazamos x por x+1 en la ecuación principal:
(2) f(x+2) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x+1) - f(x+1)^2}
Como en (1) tenemos el valor de f(x+1), lo podemos reemplazar en (2), quedándonos lo siguiente:
f(x+2) = \frac{1}{2} + \sqrt{ \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f(x)^2}-( \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f(x)^2})^2}
Si desarrollamos esto nos queda que:
f(x+2) = \frac{1}{2} + \sqrt{ \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f(x)^2}-( \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f(x)^2})^2}
f(x+2) =\frac{1}{2}+\sqrt{ \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f(x)^2}-( \frac{1}{4} + \sqrt{f(x) - f(x)^2}+f(x) - f(x)^2) }
f(x+2) =\frac{1}{2}+ \sqrt{ \frac{1}{4}-f(x)+f(x)^2 }
f(x+2)=\frac{1}{2}+ \sqrt{ (f(x)-\frac{1}{2})^2 }
Antes de poder simplificar la raíz con el cuadrado tenemos que demostrar que f(x) \geq \frac{1}{2}, ya que la raiz cuadrada del cuadrado es el modulo y si demostramos que f(x)-\frac{1}{2} \geq 0. No alterará la ecuación si los simplificamos.
Lo primero que haremos sera reemplazar x-1 por x en la ecuación principal, que nos quedaría:
f(x) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x-1) - f(x-1)^2}
De acá facilmente podemos notar que f(x) \geq \frac{1}{2} ya que \sqrt{f(x-1) - f(x-1)^2} \geq 0
porque sino la funcion pasaria al conjunto de los complejos y la funcion esta dada en los reales, y con esto queda demostrado que f(x) \geq \frac{1}{2}, por lo que podemos simplificar el cuadrado con la raiz, entonces siguiendo con la ecuacion:
f(x+2) = \frac{1}{2}+f(x)-\frac{1}{2}
f(x+2)=f(x)
\therefore b=2
