Tercera Fecha 2008 - Nivel Mayor

Buster

Problema 1 Halle todas las parejas de primos p y q, tales que

p(p+q)=q^p+1.

Problema 2.- Se reunen dos amigos, Víctor y Sebastián. Victor dice dos números enteros positivos, uno mayor que mil y otro menor que mil. Sebastián nota que el cuadrado de la razón entre la suma y la diferencia de los números es igual a uno mas la razón entre el producto y la suma de los números.
¿Cuál es el menor de éstos numeros?

Problema 3.- Sea f:\mathbb{N}\to \mathbb{N} que cumple:f(1)=2008
\cdot\ f(4n^2)=4f(n^2)
\cdot\ f(4n^2+2)=4f(n^2)+3
\cdot\ f(4n(n+1)+1)=4f(n(n+1))+1
\cdot\ f(4n(n+1)+3)=4f(n(n+1))+4

Decida si existe m número natural tal que:
1^2+2^2+\ldots +m^2+f(1^2)+f(2^2)+\ldots +f(m^2)=2008m+251

matthies

P1
Como p(p+q)=q^p+1\Rightarrow 0 \equiv q^p+1 \pmod p

Además por el pequeño teorema de Fermat:

q^p \equiv q \pmod p \Rightarrow q+1 \equiv 0 \pmod p

O bien p \mid q+1 \Rightarrow p \leq q+1

Por otra parte, un manejo algebraico de la ecuación produce:

q^p-pq=(p+1)(p-1)\Rightarrow q \mid (p+1)(p-1)

Como q es primo: q \mid p+1 \lor q \mid p-1

De cualquier manera: q \leq p+1

Se concluye finalmente que: p-1 \leq q \leq p+1
tenemos 3 casos:

i)p-1=q, en este caso tenemos 2 primos consecutivos, han de ser 2 y 3, es directo verificar que p=3, q=2 no satifacen la ecuación

ii)p=q, no es posible debido a que p \mid q+1

iii)p+1=q, como en el primer caso, tenemos que esto implica que p=2, q=3, como estos sí cumplen la ecuación, obtenemos la única solución del problema.

elgik

Problema 2.- Se reunen dos amigos, Víctor y Sebastián. Victor dice dos números enteros positivos, uno mayor que mil y otro menor que mil. Sebastián nota que el cuadrado de la razón entre la suma y la diferencia de los números es igual a uno mas la razón entre el producto y la suma de los números.
¿Cuál es el menor de éstos numeros?

Sean m>n los dos números. Por enunciado

\dfrac{(m+n)^2}{(m-n)^2}=1+\dfrac{mn}{m+n}

(m+n)^3=(m-n)^2(m+n+mn)

m^3+3m^2n+3mn^2+n^3=m^3+n^3-m^2n-mn^2+m^3n-2m^2n^2+mn^3

4m^2n+4mn^2=m^3n-2m^2n^2+mn^3

4m+4n=m^2-2mn+n^2

Es decir, n^2-n(2m+4)+(m^2-4m)=0. Las soluciones de esta ecuacion de segundo grado son

n=m+2-2\sqrt{2m+1} y n=m+2+2\sqrt{2m+1}. Descarto el ultimo caso, porque m>n.

Necesito que 2m+1 sea cuadrado perfecto para que \sqrt{2m+1} sea entero. Como 2m+1 es impar, \sqrt{2m+1} es impar, es decir, \sqrt{2m+1}=2x+1, para x entero positvo. Es decir,

2m+1=(2x+1)^2=4x^2+4x+1\implies m=2x(x+1)

Si x\leq 21, tengo que m=2x(x+1)\leq 2\cdot 21\cdot 22=924, luego x>21 Escogiendo x=22 obtengo m=1012 y n=924. Por lo tanto el menor numero vale 924.

elgik

Una visión distinta al Problema 1.

Si analizamos la paridad podemos ver 2 casos:

Si p es par, entonces necesariamente q es impar, y dado que p es primo, entonces p=2. Luego se obtiene la ecuación q^2-2q-3=0 la cual es equivalente a (q+1)(q-3)=0\rightarrow q=3, por lo que (2,3) es solución.

Si q es par, entonces notemos que 2^p+1 es siempre impar, entonces p(p+q) debería ser impar, para esto, p no puede ser par, o sea, p debe ser impar, pero q es impar, por lo tanto p+q es par, contradicción.

Por lo tanto, no existen p,q primos tales que se cumple la ecuación.