Problema 1. Un artesano hace collares con ocho piedras redondas, cuatro de esmeralda (verdes) y cuatro de rubí (rojas), dispuestas a la misma distancia una de otra. Un día decide regalar collares entre sus amigas. ¿Cuántos collares podrá regalar sin correr el riesgo de que dos amigas se encuentren con el mismo collar puesto en el cuello? (Observación: Note que el collar es totalmente simétrico excepto por el tipo de piedra, así que no hay una única forma de usarlo. Piense bien en esto.)


Problema 2.

a) Considere un tablero de $6\times 6$ al cual se le han quitado dos cuadraditos en las esquinas diagonalmente opuestas. Pruebe que no es posible cubrirlo exactamente con fichas de $2\times 1$. (Indicación: Coloree el tablero como si fuera de ajedrez y concluya).

b) Considere una caja de dimensiones $4\times 4\times 4$ a la cual en una cara cualquiera se le han quitado dos cubos de $1\times 1\times 1$ en las esquinas diagonalmente opuestas. ¿Será posible llenarla exactamente con ladrillos de dimensiones $2\times 1\times 1$?.


Problema 3.

a) Muestre que existen infinitos $n$ (número natural) que cumplen que la suma de las cifras de $11n$ es el doble de la suma de las cifras de $n$. (Indicación: Quizá le sea de ayuda buscar con valores pequeños de $n$ primero).

b) Muestre que existen infinitos $n$ (número natural) que cumplen que la suma de las cifras de $5n+1$ es igual a seis veces la suma de las cifras de $n$. (Indicación: Quizá le sea de ayuda notar que las cifras $0$ no influyen en la suma de cifras).