Construccion

impure

Construya un triangulo rectangulo dada su hipotenusa c y tal que la transversal de gravedad lanzada desde el vertice recto es igual a la media geometrica de los catetos del triangulo.

Fuente: IMO 1959 P4

impure

Mucho tiempo sin que este problema sea resuelto, intentenlo o pidan hints el foro tiene muy poco movimiento :

hamon

Hola! Este será mi primer post Se ve bueno este foro asi q quiero q siga activo! :

Bueno, sabemos que este triángulo puede ser inscrito en un círculo, con la hipotenusa como diámetro. Por lo que la mediana del vértice recto medirá lo mismo que el radio. Luego, el radio mide a la vez la mitad de la hipotenusa, llamémosla c, y a la vez la raíz cuadrada del producto de ambos catetos, llamémoslos a y b. Manejando esta identidad, llegamos a que ab =\frac{c^{2}}{4}
Luego, como deseamos construir el triángulo sabiendo la hipotenusa y no los catetos, buscamos la manera de librarnos de los catetos en la expresión...
Sabemos que el área de cualquier triángulo es el semiproducto de la base por su respectiva altura, es decir, A=\frac{ch_{c}}{2} Además, en un triángulo rectángulo, su área es la mitad del producto de sus catetos:

A=\frac{ab}{2}=\frac{\frac{c^{2}}{4}}{2}=\frac{c^{2}}{8}=\frac{ch_{c}}{2}
h_{c}=\frac{c}{4}

Entonces, logramos expresar la altura respectiva a la hipotenusa en función de una longitud conocida...Luego, solamente nos resta trazar una recta paralela a la hipotenusa, a una distancia de un cuarto de c, para determinar el lugar geométrico posible para la altura de la hipotenusa.
Pero esta recta intersectará a la semicircunferencia en sólo 2 puntos, quedando triángulos rectángulos congruentes, por lo que podemos usar cualquiera de los 2 para terminar la construcción pedida.
NOTA: En realidad se podía hacer lo mismo con la recta paralela tanto debajo como sobre la hipotenusa, quedando 4 posibles puntos para el vértice recto, pero el resultado será el mismo

Saludos!

PD: Fui una vez el año pasado a una clase de Iturriaga, pero este año no me calza el horario :/ Pero eran buenas, ojala los usuarios de acá aprovechen esas clases :

impure

A resueltos porfa :